„Dowód”, że zero jest równe jedynce, odejmując w nieskończoność liczby
Niedawno natrafiłem na „dowód” na to $0=1$. Oto jak to działa:
Pozwolić $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Od$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Teraz zamykamy$1-1-1-1-1-1-\cdots$ po obu stronach i dostajemy $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. Wtedy otrzymujemy$1-x=0-x$. Więc,$1-x+x=0-x+x$. W związku z tym,$1+0=0+0$ a więc $1=0$.
Nie mogłem dowiedzieć się, co poszło nie tak w tym dowodzie. Wynik jest oczywiście nieprawdziwy, ale dowód wydaje się prawdziwy. Następnie zapytałem kilka osób i wszyscy nie mogli zrozumieć, co poszło nie tak. Czy ktoś może przyjść i pomóc mi zidentyfikować, co poszło nie tak? Dziękuję Ci.
Odpowiedzi
Tak zwane sumy nieskończone w matematyce mają formalną definicję jako serie i opierają się na koncepcji sumy częściowej :$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ gdzie $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ jest sumą częściową.
A teraz przejdźmy do twojego przykładu: jeśli weźmiesz pod uwagę $1-1-1-1-1-1-1-...$, wtedy powinniśmy skonstruować dla niego częściową sumę $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ Jak widzisz suma częściowa nie ma skończonej granicy, co oznacza, że to wyrażenie $1-1-1-1-1-1-1-...$ nie jest liczbą skończoną i nie może być używana jako taka.
Zabawny przykład takiego „dowodu” można uzyskać, rozważając wyrażenie $1-1+1-1+1-1+1-...$ i nie badaj konwergencji: $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$
Kiedy piszesz nieskończoną serię, powinieneś najpierw sprawdzić, czy jest zbieżna. Jeśli nie, to normalne procedury, takie jak nawiasy, już nie działają.
Na przykład, oto podobny (fałszywy) dowód na to, że wszystkie liczby całkowite są $0$: Pozwolić $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. Dla dowolnej liczby całkowitej$n > 0$, nawiasuj pierwszy $n$ warunki tak, że $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. W związku z tym$n=0$.
Pozwolić $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$
Od $1−1=0$
$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.
Teraz zamykamy $1-1-1-1-1-1-\cdots$ po obu stronach i dostajemy
-->
$x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$.<--
Oto błąd. Minus przed nawiasami neguje wszystko w środku.
Tak więc wygląda to tak:
$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$
I nie sądzę, żeby to była poprawna operacja matematyczna do wykreślenia $\infty$ po obu stronach, jak $\infty$ to tylko symbol zastępczy dla bardzo dużej liczby (nie konkretnej dużej liczby, więc $\infty_{left} \ne \infty_{right}$).
Pomijając kwestie zbieżności, zwróć uwagę, że odejmowanie nie jest łączne.
Za pomocą tylko trzech terminów tego samego typu:
$(1-1)-1=-1$, i
$1-(1-1)=1$
Czy właśnie udowodniłem $1 = -1$???