Funkcja generująca moment zastosowana w $2t$

Question

Mam problem z tym problemem zaadaptowanym z Grimmet & Welsh:

Gdyby $X + Y$ i $X - Y$ są niezależni, pokaż to \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} gdzie $X,Y$ są niezależnymi rv ze średnią $0$, wariancja $1$ i $M(t)$ skończone.

Jak to udowodnić? Robi$X$ i $Y$musi mieć rozkład normalny? Dziękuję Ci!

Answer 1

Poradnik:

• $M(2t) = E[e^{2tX}]$
• $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
• $M(-t) = E[e^{-tY}]$
• $2X = (X+Y) + (X-Y)$
• Gdyby $U$ i $V$ są więc niezależnymi zmiennymi losowymi $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.