Funkcje analityczne zanikające (sub) wykładniczo w nieskończoności

Dec 11 2020

Pozwolić $f$ być funkcją analityczną w górnej półpłaszczyźnie zespolonej i ciągłą aż do osi rzeczywistej, i niech $a>0$. Załóżmy, że funkcja \ begin {equation} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f (\ zeta) \ mathrm {e} ^ {- ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {equation } jest ograniczona. Intuicyjnie, ponieważ bezwzględna wartość wykładnicza rośnie jako$|z|\to\infty$, to wymaga $f$ rozpadać się co najmniej wykładniczo, z wykładnikiem większym niż $a$, w $|z|\to\infty$; na przykład dowolna funkcja, taka jak$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$, $b>a$ załatwi sprawę, a także dowolną kombinację takich funkcji.

Zastanawiam się, czy klasa analitycznych, ograniczonych funkcji w półpłaszczyźnie spełniających ten warunek jest faktycznie większa i / lub daje się jakoś scharakteryzować.

Odpowiedzi

1 DanieleTampieri Dec 11 2020 at 05:11

Funkcje holomorficzne z kontrolowanym wzrostem pojawiają się zwykle w teorii przekształceń całkowych funkcji uogólnionej. Rozważmy na przykład klasę funkcji holomorficznych ograniczoną w prawej półpłaszczyźnie funkcją wykładniczą, tj. Taką, że$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ dla niektórych $L>0$ (nie zakładając nic na temat regularności funkcji $f$ dla $\Im \zeta=0$).
Można udowodnić, że ([2] s. 400 i s. 403) jest funkcją analityczną$f$ należy do $\mathscr{LH}_a$wtedy i tylko wtedy, gdy jest to transformata Laplace'a hiperfunkcji Laplace'a : a klasa \ eqref {1} aż do obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara$\pi/2$ domeny definicji jej członków, obejmuje ściśle klasę funkcji holomorficznych ograniczonych w górnej półpłaszczyźnie i ciągłych na osi rzeczywistej, tj. $f$ jest więc ograniczona w górnej półpłaszczyźnie i ciągła na osi rzeczywistej $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$.

Oprócz tej „nowoczesnej” charakterystyki tej klasy funkcji, Torsten Carleman użył funkcji ograniczonych górną i dolną połową płaszczyzny do zdefiniowania swojej uogólnionej transformaty Fouriera: jego wyniki zostały zebrane w monografii [1].

Bibliografia

[1] Thorsten Carleman, L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent (francuski), Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, 1, Uppsala. 119 pkt. (1944), MR0014165 , Zbl 0060.25504 .

[2] Eungu Lee i Dohan Kim, „ Laplace hyperfunctions ”, Integral Transforms and Special Functions, 19: 6, 399-407 (2008), MR2426730 , Zbl 1186.46042 .