Grupy pozytywne z rodzaju Fuchsian
Pozwolić $G$ być kratą $SL(2,\mathbb{R})$. Czy zawsze jest prawdą, że istnieje skończona podgrupa indeksowa$F$ z $G$ takie, że iloraz powierzchni $\mathbb{H}/F$ma rodzaj pozytywny? Czy to stwierdzenie jest prawdziwe przy jakimś wystarczająco ogólnym zestawie założeń? Czy możesz dodać odniesienie?
Odpowiedzi
Tak, to prawda, ale udowodnienie tego jest łatwiejsze niż znalezienie odniesienia.
Każda generowana skończenie grupa macierzy (np $PSL(2, {\mathbb R})$zawiera podgrupę odporną na skręcanie. Ogólny wynik zawdzięczamy Selbergowi, ale dla dyskretnych podgrup$PSL(2, {\mathbb R})$ z pewnością było to znane wcześniej.
W świetle 1 wystarczy udowodnić, że każda powierzchnia $S$ homeomorficzny do 2-wymiarowej kuli z $n\ge 3$ przebicie przyznaje ograniczone pokrycie $S'\to S$ takie że $S'$ma rodzaj pozytywny. Załóżmy najpierw, że$n$to jest dziwne. Przebicia otaczające$p_i$ małymi pętlami $c_i$. Będę myśleć o nich jako o elementach$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Rozważmy teraz homomorfizm$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ gdzie pierwsza strzała to Hurewicz, a druga wysyła $[c_1], [c_2]$ do $1$ i reszta $[c_i]$jest do $0$. Weź 2-krotne pokrycie$S_1\to S$ odpowiadające jądru $\alpha$. Następnie$S_1$ jest $2+ 2(n-2)$-czasów przebita kula. W ten sposób problem sprowadza się do kulek z parzystą liczbą nakłuć.
Pozwolić $S$ być $S^2$ z $n=2k\ge 4$przebicia. Podobnie jak w (2) zdefiniuj homomorfizm$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
gdzie druga strzała wysyła wszystko $[c]_i$do niezerowego elementu ${\mathbb Z}_2$. Pozwolić$S'\to S$ oznaczają dwukrotne pokrycie odpowiadające rdzeniu $\beta$. Następnie$S'$ będzie miał $2k$ nakłucia i rodzaj $k-1>0$. (To jest ćwiczenie z topologii powierzchni. Naturalne rozszerzenie$S'\to S$do rozgałęzionego pokrycia zwartych powierzchni nazywa się hipereliptyczną mapą pokrycia ).
Edytować. 1. Jeśli potrzebujesz odniesienia, masz optymalny wynik
Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Torsion free subgroups of Fuchsian groups and tessellations of surface , Invent. Math. 69,331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
Można to określić jako: Załóżmy, że $F_1, F_2$ są kratami $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Następnie$F_2$ osadzone w $F_1$ (jako grupa abstrakcyjna) z indeksem $k$wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek Riemanna-Hurwitza :$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Po rozwikłaniu definicji oznacza to pozytywną odpowiedź na pytanie dotyczące rodzaju pozytywnego.
- Aby zastosować ich wynik, trzeba wiedzieć (i przyjmują to za pewnik), że każda krata jest w środku $G$ ma prezentację $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Prezentację tę można znaleźć w artykułach Poincare na temat funkcji Fuchsa. Trudno powiedzieć, czy rzeczywiście miał dowód (dotyczy to prawie wszystkiego, co napisał Poincare, co próbowałem przeczytać, ale inni mogli się z tym nie zgodzić), ale miał narzędzie do udowodnienia wyniku, a mianowicie wypukłe domeny podstawowe. Bardziej solidny dowód można znaleźć w artykułach Dehna (nie próbowałem). Najwcześniejsze znane mi odniesienie do istnienia skończonego zestawu generującego dla krat$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ jest
Siegel, Carl Ludwig , Kilka uwag o nieciągłych grupach , Ann. Math. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .
Nic dziwnego, że Siegel używa fundamentalnych wielokątów, aby udowodnić wynik: udowadnia istnienie fundamentalnego wielokąta o skończonych bokach iw konsekwencji zawarł wyraźną górną granicę liczby generatorów pod względem pola ilorazu. ${\mathbb H}^2/\Gamma$. To twierdzenie o skończoności zachowuje znacznie większą ogólność dla krat w połączonych grupach Liego, ale jest to inna historia (która również ma skomplikowaną historię do tego stopnia, że nie jest jasne, komu przypisać ten, wyraźnie podstawowy, wynik). Jedna rzecz, której nie jestem pewien, to:
Podczas gdy znane jest istnienie skończonych zestawów generujących dla krat w połączonych grupach Liego, nie znam solidnego odniesienia do wyraźnej górnej granicy liczby generatorów pod względem objętości ilorazu (w przypadku nieskrętnym) .
- Odnośnie „hipotezy Fenchela”, że każda krata jest w środku $G=PSL(2, {\mathbb R})$zawiera wolną od skręcania podgrupę skończonego indeksu: historia jest nieco dziwaczna. Trudno powiedzieć, kiedy po raz pierwszy sformułowano przypuszczenie. Wspomina o tym artykuł Nielsena
J. Nielsen, Kommutatorgruppen for det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), str. 49-56.
Co ciekawe, artykuł Nielsena nie zawiera żadnych odniesień.
Jednak do czasu ukazania się artykułu Nielsena hipoteza Fenchela została już udowodniona. Dowód jest głównie zawarty w:
Mal'tsev, AI , O wiernym przedstawianiu nieskończonych grup przez macierze , Am. Math. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); tłumaczenie z Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
Teraz każda krata $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ jest nieskończenie generowany i zawiera tylko skończenie wiele $\Gamma$-klasy sprzężenia skończonych elementów porządku. (To przynajmniej pochodzi z twierdzenia Siegela o fundamentalnych wielokątach, które, jak powiedziałem, prawdopodobnie były znane Poincareowi.) Twierdzenie Mal'tseva implikuje, że jeśli$\Gamma$ jest nieskończenie generowaną grupą macierzy, a następnie dla każdego skończonego zbioru nietrywialnych $\Gamma$-klasy koniugacji $C_1,...,C_k$istnieje podgrupa o skończonym indeksie $\Gamma'< \Gamma$ rozłączone z $C_1,...,C_k$. Łącząc te dwa wyniki, każda krata w$G=PSL(2, {\mathbb R})$ zawiera wolną od skręcania podgrupę o skończonym indeksie.
Pełne rozwiązanie przypuszczenia Fenchela zostało stwierdzone przez Foxa w
Fox, Ralph H. , O przypuszczeniu Fenchela o (F) -grupach, Mat. Tidsskr. B 1952,61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
który był ewidentnie nieświadomy gazety Mal'tseva. Rozwiązanie Foxa okazało się częściowo błędne, z błędem (w jednym z przypadków) poprawionym w:
Chau, TC , A notatka dotycząca artykułu Foxa na temat hipotezy Fenchela , Proc. Jestem. Math. Soc. 88,584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
W tym czasie (23 lata wcześniej) Selberg wykazał się jeszcze bardziej ogólnym wynikiem:
Selberg, Atle , On nieciągłych grup w wielowymiarowych przestrzeniach symetrycznych, Contrib. Teoria funkcji, int. Colloqu. Bombaj, styczeń 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg udowodnił, że każda skończenie generowana grupa macierzy zawiera wolną od skręcania podgrupę o skończonym indeksie. Selberg również nie wiedział o artykule Mal'tseva, ale przynajmniej nie reporterował czegoś, co już tam było. Rzecz w tym, że skończenie generowana grupa macierzy$\Gamma$ może mieć nieskończenie wiele $\Gamma$-klasy sprzężenia skończonych podgrup, stąd nie można po prostu zastosować wyniku Mal'tseva.
Uwaga dotycząca kroku (1) w dowodzie Moishe Kohana. Ten problem (znalezienia skończonego indeksu, wolnej od skręceń podgrupy sieci w$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) nazwano „hipotezą Fenchela”. Rozwiązał go Ralph H. Fox. Zobacz jego artykuł:
O hipotezie Fenchela dotyczącej grup F.
i późniejsze prace (dla innych dowodów i poprawek do wcześniejszych prac).