Grupy pozytywne z rodzaju Fuchsian

Aug 16 2020

Pozwolić $G$ być kratą $SL(2,\mathbb{R})$. Czy zawsze jest prawdą, że istnieje skończona podgrupa indeksowa$F$ z $G$ takie, że iloraz powierzchni $\mathbb{H}/F$ma rodzaj pozytywny? Czy to stwierdzenie jest prawdziwe przy jakimś wystarczająco ogólnym zestawie założeń? Czy możesz dodać odniesienie?

Odpowiedzi

3 MoisheKohan Aug 17 2020 at 00:28

Tak, to prawda, ale udowodnienie tego jest łatwiejsze niż znalezienie odniesienia.

  1. Każda generowana skończenie grupa macierzy (np $PSL(2, {\mathbb R})$zawiera podgrupę odporną na skręcanie. Ogólny wynik zawdzięczamy Selbergowi, ale dla dyskretnych podgrup$PSL(2, {\mathbb R})$ z pewnością było to znane wcześniej.

  2. W świetle 1 wystarczy udowodnić, że każda powierzchnia $S$ homeomorficzny do 2-wymiarowej kuli z $n\ge 3$ przebicie przyznaje ograniczone pokrycie $S'\to S$ takie że $S'$ma rodzaj pozytywny. Załóżmy najpierw, że$n$to jest dziwne. Przebicia otaczające$p_i$ małymi pętlami $c_i$. Będę myśleć o nich jako o elementach$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Rozważmy teraz homomorfizm$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ gdzie pierwsza strzała to Hurewicz, a druga wysyła $[c_1], [c_2]$ do $1$ i reszta $[c_i]$jest do $0$. Weź 2-krotne pokrycie$S_1\to S$ odpowiadające jądru $\alpha$. Następnie$S_1$ jest $2+ 2(n-2)$-czasów przebita kula. W ten sposób problem sprowadza się do kulek z parzystą liczbą nakłuć.

  3. Pozwolić $S$ być $S^2$ z $n=2k\ge 4$przebicia. Podobnie jak w (2) zdefiniuj homomorfizm$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
    gdzie druga strzała wysyła wszystko $[c]_i$do niezerowego elementu ${\mathbb Z}_2$. Pozwolić$S'\to S$ oznaczają dwukrotne pokrycie odpowiadające rdzeniu $\beta$. Następnie$S'$ będzie miał $2k$ nakłucia i rodzaj $k-1>0$. (To jest ćwiczenie z topologii powierzchni. Naturalne rozszerzenie$S'\to S$do rozgałęzionego pokrycia zwartych powierzchni nazywa się hipereliptyczną mapą pokrycia ).

Edytować. 1. Jeśli potrzebujesz odniesienia, masz optymalny wynik

Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Torsion free subgroups of Fuchsian groups and tessellations of surface , Invent. Math. 69,331-346 (1982). ZBL0498.20033 .

Można to określić jako: Załóżmy, że $F_1, F_2$ są kratami $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Następnie$F_2$ osadzone w $F_1$ (jako grupa abstrakcyjna) z indeksem $k$wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek Riemanna-Hurwitza :$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Po rozwikłaniu definicji oznacza to pozytywną odpowiedź na pytanie dotyczące rodzaju pozytywnego.

  1. Aby zastosować ich wynik, trzeba wiedzieć (i przyjmują to za pewnik), że każda krata jest w środku $G$ ma prezentację $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Prezentację tę można znaleźć w artykułach Poincare na temat funkcji Fuchsa. Trudno powiedzieć, czy rzeczywiście miał dowód (dotyczy to prawie wszystkiego, co napisał Poincare, co próbowałem przeczytać, ale inni mogli się z tym nie zgodzić), ale miał narzędzie do udowodnienia wyniku, a mianowicie wypukłe domeny podstawowe. Bardziej solidny dowód można znaleźć w artykułach Dehna (nie próbowałem). Najwcześniejsze znane mi odniesienie do istnienia skończonego zestawu generującego dla krat$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ jest

Siegel, Carl Ludwig , Kilka uwag o nieciągłych grupach , Ann. Math. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .

Nic dziwnego, że Siegel używa fundamentalnych wielokątów, aby udowodnić wynik: udowadnia istnienie fundamentalnego wielokąta o skończonych bokach iw konsekwencji zawarł wyraźną górną granicę liczby generatorów pod względem pola ilorazu. ${\mathbb H}^2/\Gamma$. To twierdzenie o skończoności zachowuje znacznie większą ogólność dla krat w połączonych grupach Liego, ale jest to inna historia (która również ma skomplikowaną historię do tego stopnia, że ​​nie jest jasne, komu przypisać ten, wyraźnie podstawowy, wynik). Jedna rzecz, której nie jestem pewien, to:

Podczas gdy znane jest istnienie skończonych zestawów generujących dla krat w połączonych grupach Liego, nie znam solidnego odniesienia do wyraźnej górnej granicy liczby generatorów pod względem objętości ilorazu (w przypadku nieskrętnym) .

  1. Odnośnie „hipotezy Fenchela”, że każda krata jest w środku $G=PSL(2, {\mathbb R})$zawiera wolną od skręcania podgrupę skończonego indeksu: historia jest nieco dziwaczna. Trudno powiedzieć, kiedy po raz pierwszy sformułowano przypuszczenie. Wspomina o tym artykuł Nielsena

J. Nielsen, Kommutatorgruppen for det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), str. 49-56.

Co ciekawe, artykuł Nielsena nie zawiera żadnych odniesień.

Jednak do czasu ukazania się artykułu Nielsena hipoteza Fenchela została już udowodniona. Dowód jest głównie zawarty w:

Mal'tsev, AI , O wiernym przedstawianiu nieskończonych grup przez macierze , Am. Math. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); tłumaczenie z Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .

Teraz każda krata $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ jest nieskończenie generowany i zawiera tylko skończenie wiele $\Gamma$-klasy sprzężenia skończonych elementów porządku. (To przynajmniej pochodzi z twierdzenia Siegela o fundamentalnych wielokątach, które, jak powiedziałem, prawdopodobnie były znane Poincareowi.) Twierdzenie Mal'tseva implikuje, że jeśli$\Gamma$ jest nieskończenie generowaną grupą macierzy, a następnie dla każdego skończonego zbioru nietrywialnych $\Gamma$-klasy koniugacji $C_1,...,C_k$istnieje podgrupa o skończonym indeksie $\Gamma'< \Gamma$ rozłączone z $C_1,...,C_k$. Łącząc te dwa wyniki, każda krata w$G=PSL(2, {\mathbb R})$ zawiera wolną od skręcania podgrupę o skończonym indeksie.

Pełne rozwiązanie przypuszczenia Fenchela zostało stwierdzone przez Foxa w

Fox, Ralph H. , O przypuszczeniu Fenchela o (F) -grupach, Mat. Tidsskr. B 1952,61-65 (1952). ZBL0049.15404 .

który był ewidentnie nieświadomy gazety Mal'tseva. Rozwiązanie Foxa okazało się częściowo błędne, z błędem (w jednym z przypadków) poprawionym w:

Chau, TC , A notatka dotycząca artykułu Foxa na temat hipotezy Fenchela , Proc. Jestem. Math. Soc. 88,584-586 (1983). ZBL0497.20035 .

W tym czasie (23 lata wcześniej) Selberg wykazał się jeszcze bardziej ogólnym wynikiem:

Selberg, Atle , On nieciągłych grup w wielowymiarowych przestrzeniach symetrycznych, Contrib. Teoria funkcji, int. Colloqu. Bombaj, styczeń 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .

Selberg udowodnił, że każda skończenie generowana grupa macierzy zawiera wolną od skręcania podgrupę o skończonym indeksie. Selberg również nie wiedział o artykule Mal'tseva, ale przynajmniej nie reporterował czegoś, co już tam było. Rzecz w tym, że skończenie generowana grupa macierzy$\Gamma$ może mieć nieskończenie wiele $\Gamma$-klasy sprzężenia skończonych podgrup, stąd nie można po prostu zastosować wyniku Mal'tseva.

1 SamNead Aug 17 2020 at 14:52

Uwaga dotycząca kroku (1) w dowodzie Moishe Kohana. Ten problem (znalezienia skończonego indeksu, wolnej od skręceń podgrupy sieci w$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) nazwano „hipotezą Fenchela”. Rozwiązał go Ralph H. Fox. Zobacz jego artykuł:

O hipotezie Fenchela dotyczącej grup F.

i późniejsze prace (dla innych dowodów i poprawek do wcześniejszych prac).