ideały z ustaloną normą w domenie Dedekind

Question

Biorąc pod uwagę ogólną domenę Dedekind $R$ czy to prawda, że ​​istnieje najwyżej nieskończenie wiele głównych ideałów $R$z tą samą podaną normą? Przez „normę” rozumiem indeks ideału w$R$przypuszczalnie skończona.

Answer 1

Jeden ma następujący ogólny wynik:

Twierdzenie (Gilmer - Heinzer): Let$R$być pierścieniem Noetherian. Zatem istnieje tylko nieskończenie wiele ideałów$I$ z $R$ takie że $|R/I|\leqslant n$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$.

Na dowód można zobaczyć [1]. Bardziej spokojna dyskusja znajduje się w [2, str. 15].

[1] Gilmer, R. and Heinzer, W., 1992. Produkty pierścieni przemiennych i zerowymiarowości . Transactions of the American Mathematical Society, 331 (2), s. 663-680.

[2] Anderson, DF i Dobbs, D. eds., 1995. Zero-wymiarowe pierścienie przemienne (tom 171). CRC Press.