Indeksowanie w DFT (ze starego artykułu)

Question

Jest ładny artykuł wyjaśniający DFT z lat sześćdziesiątych XX wieku w IEEE Wycieczka z przewodnikiem po szybkiej transformacji Fouriera . Autor stosuje następujące definicje DFT

DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

Odwrotność $$ x(k)=\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} X(j) \exp \left(i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

gdzie indeksy j = 0, 1, 2, ..., N-1 i podobnie k = 0, 1, 2, ..., N-1.

Teraz autorzy pokazują figurę, na której indeksy j i k biegną od 0 do N, a nie N-1 . Powiedzmy, że mamy 10 punktów danych, więc N = 10; oraz j i k powinny biec od 0 do 9, a nie 10. Czy to błąd typograficzny na rysunku?

Wydaje się, że jego N również zaczyna się od zera, wtedy liczba jest zgodna, ale wzór sumowania ma N-1.

Answer 1

Liczby są prawidłowe. Widać, że przy indeksach są próbki$0,1,\ldots,N-1$. W indeksie nie ma próbek$N$, ani w dziedzinie czasu, ani w dziedzinie częstotliwości. Wartość$N$ jest pokazany tylko na odciętej, ponieważ w dziedzinie częstotliwości odpowiada częstotliwości próbkowania, aw dziedzinie czasu odpowiada końcowi ciągłego sygnału czasu reprezentowanego przez $N$ próbki (jeśli założymy, że każda próbka reprezentuje część długości $\Delta T$).

Aby uzyskać bardzo szczegółowe omówienie definicji rzeczywistego czasu trwania sekwencji dyskretnej, spójrz na odpowiedzi na to pytanie .