Integracja $\text{sech}(x)$ przy użyciu metody podstawienia hiperbolicznego
Otrzymałem zadanie znalezienia $\int{\text{sech}(x)dx}$ używając zarówno podstawień hiperbolicznych, jak i trygonometrycznych, dla metody podstawienia trygonometrycznego wykonałem następujące czynności. $$I=\int{\frac{2e^x}{e^{2x}+1}dx} $$ $$\text{Let} \space u=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}du $$ Następnie zastosuj pierwsze podstawienie i użyj podstawienia trygonometrycznego $u=\tan(t)$: $$\therefore I=\int\frac{2u(\frac{1}{u})}{u^2+1}du \iff \int\frac{2}{u^2+1}du$$ $$\text{Let}\space u=\tan(t) \implies du=\sec^2(t)dt$$ I upraszczając: $$\therefore I=2\int{\frac{\sec^2(t)}{tan^2(t)+1}dt \iff 2\int{1dt}}$$ $$I=2t$$ I wreszcie ponowne podstawienie zmiennych, aby przywrócić je w kategoriach $x$: $$\because t=\arctan(u) , \space u=e^x$$ $$\therefore I=2\arctan(e^x) + c$$
Co sprawdza się na wolframie alfa, jednak dla hiperbolicznych podstawień, których próbowałem użyć $u=\text{sinh}(t)$ która po prostu zwraca pierwotną całkę z powrotem:
$$\text{Let} \space u=\text{sinh}(t) \iff du=\text{cosh}(t)dt$$ $$\therefore I=2\int{\frac{\text{cosh}(t)}{\text{sinh}^2(t)+1}dt} \iff 2\int{\frac{1}{\text{cosh}(t)}dt}$$
Próbowałem również użyć zamiany $u=\text{csch}(t)$ co również doprowadziło do pierwotnej całki, również moja wiedza nie istniała w przypadku innych użytecznych podstawień hiperbolicznych do przeprowadzenia na tej całce.
Czy popełniłem błąd podczas integracji, czy też brakuje mi innej użytecznej zamiany, którą można tutaj przeprowadzić?
Odpowiedzi
Zauważ, że dla dowolnego $ x\in\mathbb{R} $, $ \cosh{x}=\frac{\cosh{\left(2\times\frac{x}{2}\right)}}{1}=\frac{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}=\frac{1+\tanh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\tan^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}} $.
Zastępowanie $ \left\lbrace\begin{matrix}y=\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\\ \mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}y}{1-y^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. $otrzymujemy: \begin{aligned}\int{\frac{\mathrm{d}x}{\cosh{x}}}&=2\int{\frac{\mathrm{d}y}{1+y^{2}}}\\&=2\arctan{y}+C\\&=2\arctan{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}+C\end{aligned}