Jak „czyta się” tę funkcję?

Question

Próbuję zrozumieć dowód, w którym musisz stworzyć funkcję iniekcyjną $g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$ ($ℕ^ℕ$ jest zbiorem wszystkich funkcji z $ℕ$ do $ℕ$), a moja książka definiuje to następująco:

Rozumiem (oczywiście) część, która mówi $0.101001000..$ ale nie rozumiem wzoru $a_n$. Gdzie jest napisane „dla niektórych$k≥1$„czy to znaczy, że muszę zdefiniować $k$ przed zastosowaniem tej formuły lub muszę obliczyć zmieniające się wartości$k$ z biegiem czasu?

Próbowałem uzyskać ten sam numer, który otrzymali dla funkcji tożsamości (plik $0.10100..$), ale nie widzę, jak to zrobili, używając wzoru:
używając funkcji tożsamości$i(n)=n$, z $k=2$ warunek „jeśli $n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$ stanie się $2+f(i(0))+f(i(1))$ ale skąd mam wiedzieć, jakie wartości $f(0)$, $f(1)$ itp. masz?

Czy moglibyście obliczyć liczbę, którą otrzymali, używając funkcji tożsamości, używając tego wzoru?

Dziękuję Ci!

Answer 1

Najprawdopodobniej zawiedli i wykorzystali $i$za dwie zupełnie różne rzeczy. na przykład środki , na przykład , tak$i()$ to prosty przykład dla $f()$ ale używali $i$jako indeks i jako nazwa funkcji. Źli ludzie. Zastąpić$i$ kiedy jest używany dla nazwy funkcji, tożsamości, linii 4, 8 i 11 na przykład $d$ i przeczytaj ponownie.

Wyrażenie dla $a_n$jest niepotrzebnie skomplikowane, powodując zamieszanie. Mówi tylko, że są$f(0)+f(1)+...+f(m)$ zera plus $m$ $1$jest przed każdym $1$w ekspansji. Jest to logiczna inwersja, która sprawia, że ​​bardzo prosta rzecz brzmi och, tak matematycznie, co jest praktyką, którą można znaleźć w znacznie poważniejszych miejscach. Przepraszam za tortury.

$f(0)$,$f(1)$to wartości jednej wybranej funkcji. W tym akapicie wyjaśniono, jak odwzorować funkcję na liczbę rzeczywistą. Oznacza to, że dla dowolnej funkcji utwórz to mapowanie.

Answer 2

Zdanie „Skąd mam wiedzieć, jakie wartości $f(0)$, $f(1)$itd., mają? ”pokazuje, że istnieje pewne nieporozumienie wokół: $f$jest podane do Ciebie. Jest to „punkt” o nieskończenie wielu współrzędnych$\bigl(f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $\ldots\bigr) $. Teraz musisz zakodować ten punkt w łańcuchu binarnym, z którego wszystkie współrzędne$f(i)$można odzyskać później. Wydaje się, że zrozumiałeś ideę konstrukcji, jak pokazano na przykładzie.

Obecnie problemem jest znalezienie „matematycznego” opisu pomysłu konstrukcyjnego. Podany opis mniej więcej przenosi pomysł, ale zakłada się, że czytelnik już wie, o co chodzi. Zrobiłbym to w następujący sposób: Biorąc pod uwagę$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$zdefiniuj liczby $n_k$ $(k\geq1)$ następująco: $$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$ i umieścić $$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$