Jak dołączamy plik $2$-komórka?

Aug 16 2020

To jest problem z topologii algebraicznej Hatchera

„Oblicz homologię przestrzeni uzyskanej z $D^2$ usuwając najpierw wnętrza dwóch rozłącznych dysków podrzędnych we wnętrzu $D^2$ a następnie zidentyfikowanie razem wszystkich trzech powstałych okręgów granicznych poprzez homeomorfizmy zachowujące zgodne z ruchem wskazówek zegara orientacje tych okręgów. "

Tutaj znalazłem rozwiązanie https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Na zdjęciu widać, że rozwiązanie wykorzystuje strukturę CW i powiedział, że$2$-komórka $U$ przywiązuje się do słowa $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Moje pytanie brzmi: dlaczego tak jest?

Wydaje mi się bardziej racjonalne, aby się przywiązać $U$ do $abab^{-1}cac^{-1}$ponieważ chcemy, aby wszystkie 3 okręgi były zgodne z ruchem wskazówek zegara. Z grubsza rozumiem procedurę: zaczynamy od$x$, potem chodzimy dookoła $a$, teraz przechodzimy $b$ dotrzeć do wewnętrznego kręgu z zewnętrznego, a potem jedziemy dookoła $a$ znowu robimy to samo dla $c$. Ale dlaczego idziemy w lewo, kiedy sięgamy do środka?

Odpowiedzi

1 AnginaSeng Aug 16 2020 at 05:42

Pomyśl o sobie siedzącym w środku $U$i pomyśl, jak ta granica się zawija. Zaczynasz od góry$x$ następnie wybierz się na wycieczkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół zewnętrznego koła ($a$), a następnie spacer wzdłuż segmentu $b$ (teraz skończyłeś $ab$), a następnie przejdź w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wzdłuż lewego wewnętrznego koła ($aba^{-1}$), a następnie z powrotem $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) itp.

Chodzi o to, że kiedy jesteś w środku $U$spacery po wewnętrznych kręgach są w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara; w kierunku przeciwnym do spaceru po zewnętrznym kręgu. Pamiętaj tylko, że wnętrze$U$ jest zawsze po tej samej stronie, z której idzie się wzdłuż jej granicy.