Jak obliczyć $\int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}}dx$.

Nov 25 2020

$$ \mbox{How can I compute}\ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(ax\right)}{\left(1 + x^{2}\right)\,\sqrt{\,{x}\,}}\,\mathrm{d}x\ ?. $$

Widziałem wiele pytań dotyczących obliczeń tej całki bez członu $\,\sqrt{\,{x}\,}\,$ i że można to rozwiązać za pomocą różnych technik (całka po obrysie, całka iterowana itp$\ldots$). Ale jak mogę obliczyć moją całkę$?$.

Odpowiedzi

4 SewerKeeper Nov 25 2020 at 18:56

Pozwolić $$ f(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x, $$


Po pierwsze, zauważamy, że $f(a)=f(-a)$, W związku z tym $f$ jest równa i skupimy się tylko na $a \ge 0$.

Druga, $$ \begin{split} \left| f(a) \right| &\le \left|\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \right|\\ &\le \int_0^{+\infty} \frac{\left|\cos(ax)\right|}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \\ &\le \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)\sqrt{x}} = f(0) \end{split}$$

Dzięki odrobinie matematyki można to znaleźć $$ f(0) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)\sqrt{x}} =2\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{1+t^4} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx 2.22 $$

(patrz tutaj )


Teraz, jeśli rozróżnimy twitce pod symbolem całkowitym (możemy to zrobić dzięki zasadzie całkowania Leibniza )$$ \begin{split} f''(a) &= -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) \cdot x^2}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x\\ &= -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) \left(x^2+1-1\right)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x\\ &= - \left[\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) }{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \right] \\ &= f(a) - \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \end{split}$$

Teraz,

$$ \begin{split} \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x &= \frac{1}{2}\int_\mathbb{R}\frac{\cos(ax)}{\sqrt{|x|}} \, \mathrm{d} x \\ &= \mathcal F \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)(a) \\ &=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}}\\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{|a|}} \end{split} $$ gdzie używaliśmy $ \mathcal F \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)(a) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}}$(patrz Transformacja Fouriera z$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$)


Tak więc problem jest teraz do rozwiązania

$$ \begin{cases} f''(a) -f(a) = -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{|a|}}\\ f(0) = \frac{\pi}{\sqrt 2}\\ \end{cases} $$

Z liniowych równań różniczkowych wiemy, że rozwiązaniem jest

$$ f(a) = c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + f_\mathrm p(a) $$

gdzie $c_1$ i $c_2$ są liczbami rzeczywistymi i $f_\mathrm p$ jest rozwiązaniem uzupełniającym.

Wolfram Alpha pomaga nam to wiedzieć

$$ \begin{split} f(a) &= c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\mathrm{e}^{-x+a}-\mathrm{e}^{x-a}}{2\sqrt{x}}\, \mathrm d x\\ &= c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x \end{split} $$

Teraz, jeśli dodamy warunek początkowy, otrzymamy $$ c_1+c_2 = \frac{\pi}{\sqrt 2}, $$ stąd po zmianie nazwy stałej $c_1 = C$, rozwiązaniem jest

$$ \begin{split} f(a)&= C \mathrm{e}^a + \left(\frac{\pi}{\sqrt 2} - C\right) \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x\\ &= 2C \sinh(a) + \frac{\pi}{\sqrt 2} \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x \end{split} $$

Jeśli znajdziesz inną wartość początkową (na przykład $f(1)$), możesz wyeliminować stałą $C$ także.