Jak rozumieć orbitę rozmiaru $1$ w tym przypadku

Jan 20 2021

Jestem początkującym samoukiem w zakresie teorii grup, więc proszę, wytrzymaj to pytanie, na które może być kilka prostych odpowiedzi. Dawać$p$-Grupa $G$ dla jakiejś liczby pierwszej $p$, pozwolić $H$ być podgrupą $G$. Pozwolić$X$ być zbiorem wszystkich koniugatów $H$.

Teraz, $H$ działa $X$przez koniugację. Czytałem, że są przynajmniej$p$ orbity o rozmiarze $1$ w $X$.

Jeden przykład orbity o rozmiarze $1$ jest $\{H\} \in X$. Ten przykład jest następujący od$aHa^{-1}=H$ dla każdego $a \in H$ od $H$ jest podgrupą i mamy $\text{Orb}(H)=H$.

Ale czytałem to od tamtej pory $p$ jest liczbą pierwszą, że są przynajmniej $p-1$ inne orbity wielkości $1$. Powinna więc istnieć inna orbita$gHg^{-1} \neq H$ wielkościowy $1$ w $X$.

Nie rozumiem tylko jak $gHg^{-1}$ może mieć odpowiedni rozmiar $1$ pod działaniem $H$. Nie powinno to oznaczać tego$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ i $\text{Orb}(gHg^{-1})$ niekoniecznie musi być równe $gHg^{-1}$. Powinien jednak mieć rozmiar$1$, co oznacza że $\text{Orb}(gHg^{-1})$ w rzeczywistości powinien być równy $gHg^{-1}$.

Dla porównania, wynik ten pochodzi z Twierdzenia Rotmana 4.6, gdzie nie nałożono żadnych dodatkowych warunków $H$ i $G$ oprócz tego $H$ jest podgrupą $p$-Grupa $G$ ... Czego tu brakuje?

Odpowiedzi

4 PedroAmaral Jan 20 2021 at 11:08

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że jeśli $|X| = 1$ wtedy nie będziemy mieć $p-1$ inne orbity, więc też będziemy musieli założyć $|X| \gt 1$.

Wykorzystamy te dwie właściwości orbit, aby udowodnić nasze stwierdzenie:

  1. Orbity są rozłączne, a ich połączenie to cały zestaw $X$ (powinno to być łatwe do zobaczenia).

  2. Rozmiar orbity dzieli porządek grupowy (jest to udowodnione w twierdzeniu o stabilizatorze orbity)

Według właściwości (1) mamy to $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ gdzie $\mathcal{O}$to zbiór zawierający wszystkie orbity akcji. Teraz się rozdzieliliśmy$\mathcal{O}$ na dwa rozłączne podzbiory: $\mathcal{O'}$ i $\mathcal{O''}$ gdzie $\mathcal{O'}$ jest zbiorem wszystkich orbit o rozmiarze $1$ i $\mathcal{O''}$ jest zbiorem wszystkich orbit o rozmiarze większym niż $1$. To znaczy$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ od $|Y'| = 1$. Wiemy to według własności (2)$|Y''|$ dzieli $|X| = p^n$ i $|Y''| > 1$ co oznacza że $|Y''| = p^k$ gdzie $k > 1$ co znaczy $p$ dzieli $|Y''|$. Możemy zobaczyć$X$ jako orbita, gdzie działanie grupowe jest koniugacją przez grupę $G$. To znaczy że$|X|$ dzieli $|G| = p^n$. Od$|X| > 1$ mamy to $p$ dzieli $|X|$. Od$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ też musi się dzielić $|\mathcal{O'}|$ co znaczy $|\mathcal{O'}| = pm$ dla niektórych $m \gt 1$ co znaczy $|\mathcal{O'}| \geq p$ co staraliśmy się udowodnić.