Jak udowodnić, że suma rozkładu 2 Gaussa jest również rozkładem Gaussa przy użyciu funkcji charakterystycznej [duplikat]

Question

Niech X i Y będą dwoma $ \mathcal{N}(0, 1) $dystrybucje. Muszę to udowodnić$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ jest równe $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Próbuję to zrobić za pomocą charakterystycznej funkcji rozkładu Gaussa. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Naprawdę nie wiem, co zrobić, ponieważ zmieniając zmienną, nie mogę zastąpić zarówno x, jak i y. Jakieś sugestie?

Answer 1

Pozwolić $Z=aX+bY$. Charakterystyczna funkcja$Z$ jest:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

EDYCJA (niechlujny błąd ...) Jeśli X i Y są niezależne:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

gdzie $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$jest funkcją charakterystyczną rozkładu normalnego. Więc,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

która jest charakterystyczną funkcją rozkładu normalnego $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.