Jaka jest macierz logarytmu operatora pochodnej ( $\ln D$)? Jaka jest rola tego operatora w różnych dziedzinach matematycznych?
Babusci i Dattoli, na logarytmie operatora pochodnej , arXiv: 1105,5978 , daje świetne wyniki:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Zastanawiam się, jaka jest jego macierz, czy inaczej, czy istnieje metoda zastosowania jej do funkcji?
Jaka jest jego intuicyjna rola w różnych dziedzinach matematyki?
Odpowiedzi
Po transformacji Fouriera $x\mapsto k$, to staje się operatorem diagonalnym z elementami macierzy $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Więc aby znaleźć elementy macierzy w$x$-reprezentacja musielibyśmy odwrócić transformatę Fouriera logarytmu $\ln k$. Z tej odpowiedzi MSE dla transformaty Fouriera$\ln |k|$ (ze znakami wartości bezwzględnej) Wnioskuję z tego $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$
Ten zapis oznacza, że $\ln D$ działając na funkcję $f(x)$ tworzy nową funkcję $g(x)$ podane przez $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$
Interpretacja a $\ln(D)$ zależy od interpolacji, którą wybiera się zwykłego operatora pochodnego i jego dodatnich mocy całkowitych na ułamkowy operator całkowitoliczbowy (FID), tj. interpretacja $D$potęgowane przez dowolną liczbę rzeczywistą (lub zespoloną poprzez kontynuację analityczną), która z kolei zależy od funkcji, na których ma działać FID. Rozszerzenie opisane poniżej daje B & D trzy tożsamości i jest zgodne z właściwościami, które Pincherle narzucił każdej legalnej rodzinie FID (patrz MO-Q dla pochodnej 1/2 i MO-Q dla rachunku ułamkowego ). Można ją zdefiniować przez działanie na „zestawie bazowym” całych funkcji w zmiennej złożonej$\omega$ tak jak
$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$
gdzie $H(x)$ jest funkcją krokową Heaviside, a $\alpha$ i $\omega$ mogą być dowolnymi liczbami zespolonymi ze zwykłą identyfikacją w teorii uogólnionych funkcji i rozkładów
$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$
z $n=0,1,2,3,...$.
Zauważ, że ma to niewiele wspólnego z transformacją Fouriera na rzeczywistej linii lub jakimkolwiek powiązanym z nią op / symbolem pseudo-diff. W szczególności,$D^{\alpha}$ tutaj NIE jest związane z mnożeniem przez $(i 2 \pi f)^{\alpha}$w przestrzeni częstotliwości. W innym miejscu pokazuję różne równoważne splotowe powtórzenia tego FID jako 1) FT na okręgu poprzez transformację uregulowanej całki konturu kompleksu Cauchy'ego, 2) analityczną kontynuację całkowego rep funkcji beta Eulera albo przez powiększenie do złożona płaszczyzna całki wzdłuż rzeczywistego odcinka prostej lub regularyzacja poprzez część skończoną Hadamarda lub przez kontur Pochhammera, 3) interpolacja Mellina standardowego operatora pochodnego poprzez działanie funkcji generującej$e^{tD_x}$, operatorowe zastosowanie wzoru głównego Ramanujana lub 4) interpolacja funkcji sinc / kardynalnych szeregów uogólnionych współczynników dwumianowych.
Zobaczmy, jak wykonalna jest powyższa definicja FID; jego połączenie z nieskończenie małym generatorem (infinigen) FID i trzema tożsamościami B & D; związek z formalizmem ciągów wielomianów Appella Sheffera, a zatem z symetryczną teorią wielomianu / funkcji; i powtórzenia macierzy infinigenu i FID.
Jeśli przyjmiemy, że nieskończenie mały generator $IG$ istnieje taki, że
$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$
następnie formalnie
$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$
$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$
a infinigen jest
$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$
gdzie $\psi(x)$ jest funkcją digamma, którą można zdefiniować na płaszczyźnie zespolonej jako funkcję meromorficzną i jest ściśle związana z wartościami funkcji zeta Riemanna w $s = 2,3,4,...$.
Niektórzy przedstawiciele (którzy dają takie same tożsamości jak w B & D) są
$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$
$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$
$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$
$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$
gdzie $\lambda$ jest powiązany ze stałą Eulera-Mascheroniego via $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.
Inne powtórzenia i inne sposoby dotarcia do powyższych powtórzeń są podane w referencjach poniżej.
Spójrzmy na sposób poprzez formalizm ciągów wielomianów Appella Sheffera, który rozwiązuje wszelkie kwestie zbieżności po potęgowaniu jawnej formuły diff op dla infinigenu i umożliwia połączenia z teorią symetrycznych wielomianów / funkcji.
Odpowiednia sekwencja wielomianów Appella $p_n(z) = (p.(z))^n$ ma funkcję generującą wykładniczą, w całości w zmiennej zespolonej $t$tzn. ze swoją globalnie zbieżną serią Taylora,
$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$
z odwrotnym ciągiem wielomianów zdefiniowanym na cztery spójne sposoby $\hat{p}(z)$
1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, egf,
2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, w kategoriach macierzy niższych trójkątnych współczynników dwóch sekwencji w jednomianowej podstawie potęgowej $z^n$ z jednostką po przekątnej,
3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, umbral konwolucyjna inwersja,
4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, działający generator.
Wynika z tego, że podniesienie op wielomianów Appella $p_n(z)$ określony przez
$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$
jest dany przez
$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$
$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$
koniugacja operatora lub „transformacja miernika” operatora podnoszącego $z$ dla monomianów potęgi.
Dodatkowo z komutatorem operatorskim $[A,B] = AB - BA$,
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$
Teraz wprowadź ponownie Pincherle i tytułową pochodną operatora, którą Rota reklamował dla rachunku operatora skończonego. Gravesa Pincherle pochodne wyprowadza energię z grobami-lie-Heisenberga-Weyl komutatora$[D_z,z] = 1$ z którego, poprzez normalną zmianę kolejności, implikuje dla dowolnej funkcji wyrażonej jako szereg potęgowy w $D_z$
$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$
To jest awatar pochodnej Pincherle'a (PD), która wynika z akcji $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$
ale PD jest ważne dla bardziej ogólnych operacji obniżania i podnoszenia (drabiny), które zadowalają $[L,R]= 1$.
Następnie
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$
$$ = z - \psi(1+D_z).$$
Wraz ze zmianą $ z = \ln(x)$
$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$
Operacja podbicia jest tak określona
$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$
cała funkcja $t$złożony; w związku z tym,
$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$
więc
$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$
$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$
i rzeczywiście możemy to zidentyfikować
$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$
i
$$IG = \ln(D_x).$$
Teraz zastosuj PD do $\ln(D)$, jako sprawdzenie formalizmu i droga do matrycy, podając formalnie
$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$
Nadaje się temu wyraźne znaczenie, oceniając komutator pod kątem funkcji ogólnej $g(x)$ analityczne u źródła (co uogólnia na nasz zbiór „bazowy”) przy użyciu całkowego rep for $R_x = -\ln(D_x)$, dając
$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$
$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$
$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$
Więc mamy
$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$
i
$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$
sugerując
$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$
Ponadto z
$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$
następnie
$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$
$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$
gdzie
$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$
Seria op różnic skończonych jest osadzona w pochodnej $D_{\alpha =0}$od interpolatora Newton
$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$
$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$
Dla $\alpha = -m$ z $m = 1,2,...$ i $\omega = 0$, podaje ten interpolator Newtona
$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$
$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$
$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$
co zgadza się w sensie dystrybucyjnym z rozwiązaniami wielomianowymi Laguerre'a $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$w formułach tego MO-Q, ponieważ, z$c_n = f_n$ w zapisie tam,
$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$
z
$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$
więc dla $m$-ta pochodna funkcji Heaviside'a,
$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$
a zatem współczynniki rozdzielczości serii Laguerre'a $m$-tą pochodną funkcji Heaviside są
$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$
w porozumieniu z interpolatorem Newtona.
Stosowanie $D_x^{-1}$ iteracyjnie po obu stronach tej tożsamości ustala zbieżne interpolacje dla $\omega = 1,2,3,...$i działając na podstawie potęgi w ramach dwumianowej ekspansji $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ powinien również podawać zbieżne wyrażenia.
Podobnie dla $\omega=0$, mamy transformatę Laplace'a (a dokładniej zmodyfikowaną transformatę Mellina kluczową dla wzoru głównego Ramanujana, za pomocą którego FID można rzutować jako interpolacje Mellina standardowych pochodnych),
$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$
dla $Re(\alpha) > -1$, dając
$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$
Ta transformata Laplace'a, a tym samym interpolator Newtona, mogą być kontynuowane analitycznie na kilka standardowych sposobów (np. Wysadzenie z rzeczywistej prostej na płaszczyznę zespoloną poprzez kontur Hankela , część skończoną Hadamarda ) do pełnej płaszczyzny zespolonej dla$\alpha$. Dla ujemnych wykładników całkowitych, kontur Hankela kurczy się do zwykłego powtórzenia konturu Cauchy'ego w celu zróżnicowania. Podejście Hadamarda-części skończonej pozwala na odpowiednią modyfikację interpolatora Newtona pasek po pasku, aby uzyskać zamierzone wyniki.
Wracając do skończonej różnicy, powtórzyć $\ln(D_x)$, działanie infinigenu na 1 daje wtedy za $x > 0$,
$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$
gdzie $L_n(x)$ są wielomiany Laguerre'a, zgodnie z pierwszym równaniem B & D w pytaniu.
Wykresy wyników oceny szeregu operatorów obciętych o $n=80$lub tak dalej, działając dalej $x^2$ i $x^3$ dopasować również wyniki analityczne.
Reprezentacja macierzy $M$ działania tej integracji op $D_x^{-1}$ na $x^n$ jest dość prosta w podstawie potęgowej - macierz ze wszystkimi zerami z wyjątkiem pierwszej subdiagonalnej lub superdiagonalnej, w zależności od mnożenia lewej lub prawej macierzy, z elementami $(1,1/2,1/3,...)$.
Reprezentacja macierzy dla $R_x$ jest wtedy
$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$
Potęga,
$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$
Powiązany rep macierzy to
$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$
(Nie sprawdzałem tych obliczeń macierzy numerycznie, jak zwykle, ponieważ mój dysk MathCad jest przechowywany w innym stanie).
Aby działać na niecałkowitych potęgach $x$, musisz przedstawić je jako superpozycje podstawy potęgi całkowitej, tak jak w rozwinięciu dwumianowym
$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$
Alternatywnie wróć do $z$ rep i zapisz macierz rep podbicia op $R_z$. Jest to prosta transformacja nieskończonej dolnej trójkątnej macierzy Pascala powiększonej o pierwszą superdiagonalną ze wszystkich. OEIS A039683 ma przykład macierzowego odpowiednika operacji rosnącej w jednomianowej podstawie potęgi, znanej również jako macierz produkcji w innym podejściu (Riordan?) Do sekwencji wielomianów. W tym przypadku lepiej przejść na podstawę podzielonej mocy$z^n/n!$. Wówczas rozszerzona macierz Pascala staje się prostą macierzą sumowania wszystkich jedynek. Pomnóż wzdłuż n-tej przekątnej przez$c_n$ gdzie $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ do wygenerowania repozytorium macierzy dla operacji przebicia, ale ponieważ np. $x^2=e^{2z}$, to szybko staje się chaotycznym algorytmem do zastosowania w porównaniu z repozytorium różnicy skończonej.
Dalsze odniesienia (niewyczerpujące):
- Riemann zeta i rachunek ułamkowy, MO-Q
- Funkcja Digamma / Psi, Wiki
- OEIS A238363 w dzienniku operatora pochodnej
- OEIS A036039 na wielomiany indeksu cyklu i funkcje symetryczne
- Funkcje zeta i wielomiany indeksu cyklu, MO-Q
- W sprawie przebicia dla FID-ów, MSE-Q
- OEIS A132440 na matrycy infinigen
- OEIS A263634 w sprawie powtórzeń wielomianów partycji dla operacji podnoszenia Appell
- Odwołaj się do innego interpretera logu pochodnej, pliku PDF
- Interpolacja / analityczna kontynuacja silni do gamma fct, MSE-Q
- Podnoszenie możliwości dla sekwencji Appell, post na blogu
- Przykład interpolacji Mellina $e^{tD}$, MO-Q
- Więcej o interpolacji / analitycznej kontynuacji operacji różnicowych, post na blogu
- Dwie analityczne kontynuacje współczynników funkcji generującej MO-Q
- FID i konfluentne funkcje hipergeometryczne, MO-Q
- Uwaga na temat pochodnej Pincherle, post na blogu
- FID i interpolacja współczynników dwumianowych, wpis na blogu
- FIDy, interpolacja i fale wędrujące, post na blogu