Jakie są elipsoidy Johna dla pary (9- i 15-wymiarowych) wypukłych zbiorów $4 \times 4$ macierze z określeniem dodatnim?
Jakie są elipsoidy Johna ( JohnEllipsoid ) dla 9- i 15-wymiarowych zestawów wypukłych ($A,B$) z $4 \times 4$dodatnio określone, symetryczne macierze śladu-1 (hermitowskie) (w żargonie informacji kwantowej, odpowiednio, zestawy „dwóch rebitów” i „dwóch kubitów” „macierzy gęstości” [ DensityMatrices ])? (Czy te ciała są „centralnie symetryczne” w sensie jednego aspektu leżącego u podstaw twierdzenia JohnTheorem ?)
Dalej, jaki jest stosunek (przecięcia,…) tych elipsoid do ważnych podzbiorów wypukłych $A$ i $B$ złożona z tych macierzy, które pozostają dodatnio-określone w ramach (nie do końca pozytywnej) operacji częściowej transpozycji - dzięki której cztery $2 \times 2$ bloki $4 \times 4$macierze są transponowane na miejscu? (Ustalono [ MasterLovasAndai ], że ułamki objętości euklidesowej zajmowane przez te podzbiory "PPT" [dodatnio-częściowo transponowane / rozdzielne / nieplątane] wypukłe są$\frac{29}{64}$ dla $A$ i $\frac{8}{33}$ dla $B$.)
Ponadto, jaki jest dalszy stosunek tych elipsoid do „wdechów” (maksymalne kulki wpisane w $A$ i $B$[ SBZ ])? Inspheres również znajdują się w zestawach PPT. Czy elipsoidy Johna i inspheres mogą się po prostu pokrywać?
Dodatkowo, jakie mogą być same elipsoidy Johna dla tych zestawów PPT?
Istnieje ciekawa koncepcja „elipsoidy sterującej”, o której mowa w następnym cytacie s. 28 [SteeringEllipsoid] :
W przypadku stanów dwukubitowych znormalizowane stany warunkowe Alice mogą sterować układem Boba w celu utworzenia elipsoidy wewnątrz sfery Blocha Boba, określanej jako elipsoida sterująca (Verstraete, 2002; Shi i in., 2011, 2012; Jevtic i in., 2014 ).
Jednak „sfera Blocha” jest trójwymiarowa, więc elipsoida sterująca w stanie dwukubitowym nie może być (15-wymiarową) elipsoidą Johna żądaną powyżej.
Oczywiście pytanie, czym są elipsoidy Johna, można zadać dla wypukłych zbiorów $m \times m$ symetryczny i $n \times n$ Hermitian (dodatnio-określony, ślad 1) macierze gęstości ($m,n \geq 2$). Dla$m,n=2$odpowiedzi wydają się banalne, a mianowicie same zestawy wypukłe. Dla$m,n =3$wydaje się być może nietrywialne. Jednak tylko dla wartości złożonych$m,n$, czy mamy dodatkowe pytania dotyczące wypukłych podzbiorów stanów PPT.
Artykuł Wikipedii podany przez pierwsze hiperłącze powyżej opisuje
„maksymalną objętość wpisanej elipsoidy jako wewnętrzną elipsoidę Löwnera-Johna”.
[ DensityMatrices ]: Slater - Zwięzły wzór na uogólnione dwukubitowe prawdopodobieństwa rozdzielności Hilberta-Schmidta
[ JohnTheorem ]: Howard - Twierdzenie Johna o elipsoidzie
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai i równoważne formuły weryfikujące$\frac8{33}$ prawdopodobieństwo rozdzielenia dwóch kubitów Hilberta-Schmidta i towarzyszące im przypuszczenia o racjonalnej wartości
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson i Życzkowski - O strukturze ciała stanów z dodatnią częściową transpozycją
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen i Gühne - sterowanie kwantowe
Odpowiedzi
Zacznijmy od dwóch pozornie istotnych formuł. Pierwsza dotyczy objętości a$k$-wymiarowa elipsoida [gr. 2.1, objętość elipsoidalna ], \ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {equation}, gdzie$a_i$s to długości półosi.
Drugi dotyczy objętości zestawu $m \times m$symetryczne, dodatnio określone macierze śladu 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {equation}
W przypadku („two-rebit”) $m=4$ ($k=9$), które jest przedmiotem bezpośredniego zainteresowania, formuła daje \ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ około 0,0016106. \ end {equation}
Tak więc, szczególnie interesującym nas pytaniem jest, jaką część tej objętości zajmuje wewnętrzna elipsoida Lownera-Johna dla wypukłego zbioru wskazanego 9-wymiarowego zestawu $4 \times 4$macierze (gęstości). Co więcej, jaka jest jego wielkość w porównaniu z$\frac{29}{64}$, ułamek ustalony przez Lovasa i Andai dla rozdzielności - równoważnie PPT - prawdopodobieństwa stanów podwójnych? Również w porównaniu z objętością wdechu (dla której nie mamy natychmiastowych obliczeń).
Tak więc, aby podejść do tych pytań, wygenerowaliśmy pary losowo generowanych „macierzy gęstości z dwoma rebitami” (sec, 4, RandomDensityMatrices ), używając metod zespołu Ginibre'a. Następnie wzięliśmy wartości bezwzględne ich różnic i podzieliliśmy przez 2. Dziewięć niezależnych wpisów (trzy ukośne i sześć górnych poza diagonalnymi) otrzymanej macierzy przyjęto jako półosi.
W tym momencie wygenerowaliśmy blisko szesnaście milionów takich par. Para$4 \times 4$ macierze gęstości, dla których znaleźliśmy odpowiadającą im maksymalną objętość elipsoidy, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (tylko 0,0000432642 z $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), jak dotąd to \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0,424772 & -0,147161 & -0,3345 & -0,177458 \\ -0,147161 & 0,164668 & 0,146384 & 0,0925659 \\ -0,3345 & 0,146384 & 0,29387 & 0,157489 \\ -0,177458 & 0,0925659 & 0,157489 & 0,11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {equation} and \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} Połowa bezwzględnych różnic dla tych dwóch macierzy trzech wiodących pozycji po przekątnej i sześciu górnych pozycji poza przekątną jest używana jako dziewięć półosi w pierwszym wzorze podanym powyżej.
Zwróćmy również uwagę, że istnieje alternatywne - ale równoważne pewnym czynnikom normalizacyjnym - podejście do obliczania objętości $m \times m$macierze gęstości ( AndaiVolume ). Andai ograniczył jednak uwagę do$2 \times 2$ Hermitian i nie dali jednoznacznej alternatywy dla przedstawionej powyżej formuły objętościowej Życzkowskiego i Sommersa - tak więc w tym momencie nie jesteśmy pewni, jaką ona przybrałby formę.