Jeśli każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest zdefiniowana w $K$ jest więc ograniczona $K$ jest kompaktowy
Próbuję rozwiązać następujące pytanie z sekcji prawdziwej analizy :
- Pozwolić $K$ być niepustym podzbiorem $\mathbb R^n$ gdzie $n > 1$. Które z poniższych stwierdzeń musi być prawdziwe?
(I) Jeśli $K$ jest zwarta, to każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na $K$ jest ograniczona.
(II) Jeśli każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na $K$ jest więc ograniczona $K$ jest kompaktowy.
(III) Jeśli $K$ jest więc zwarta $K$ jest połączone.
Dowód na (I) jest standardowy. Próbuję zobaczyć (II) przez zaprzeczenie.
Czy można sformułować dowód na (II) w następujący sposób:
Przypuszczać $K \subseteq \mathbb R^n$nie jest zwarty. Następnie istnieje otwarta pokrywa$\mathcal C$który nie ma skończonej części składowej. Ale$f: K \to \mathbb R$jest ciągła. (...) Sprzeczność.
Odpowiedzi
Podzbiór $\mathbb{R^n}$jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty i ograniczony, jest to wynik standardowy. Teraz załóżmy, że każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na$K$jest ograniczona. W szczególności funkcja$f(x)=||x||$ jest ograniczony $K$, W związku z tym $K$ jest zbiorem ograniczonym.
Więc musimy tylko udowodnić $K$zamknięte. Cóż, przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy jest pewien punkt$y\in\overline{K}\setminus K$. Definiować$f:K\to\mathbb{R}$ przez $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Jest to funkcja ciągła, która nie jest ograniczona, jest sprzecznością.
Chciałbym tylko dodać, że jeśli zakres byłby liczbami rzeczywistymi wyposażonymi w ograniczoną metrykę, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, to instrukcja nie jest prawdziwa dla przestrzeni metrycznych, nawet jeśli $Dom(f)$ spełniał własność Heine-Borela.