Jeśli $p$ jest dziwną liczbą pierwszą i $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, następnie $\alpha^2$ nie jest prostym modulo root $p$.

Aug 16 2020

Udowodnij prawdę lub podaj kontrprzykład, jeśli jest fałszywy.

Jeśli $p$ jest dziwną liczbą pierwszą i $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, następnie $\alpha^2$ nie jest prostym modulo root $p$.

Próbowałem udowodnić, że to prawda, ale nie wiem, od czego zacząć. Myślałem o zastosowaniu Małego Twierdzenia Fermata: jeśli$p$ jest liczbą pierwszą i $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, następnie $\alpha^{(p-1)}=1$ ale jak przeskoczyć z FLT do pierwotnych korzeni? Prymitywny korzeń jest definiowany jako element$\gamma=\phi(m)$ ale jak to się ma do tego problemu?

Odpowiedzi

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$Ostatni krok wynika z FLT.

Stąd kolejność $a^2$ mod $p$ jest najwyżej $\frac{p-1}{2}$, więc z definicji nie może to być prymitywny korzeń.