Jest $(4+\sqrt{5})$ główny ideał $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Question

Rozważ dziedzinę integralną $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Jest$(4+\sqrt{5})$ główny ideał $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Znam następujące elementarne fakty. Mamy \ begin {equation} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ left \ {\ frac {m + n \ sqrt {5}} { 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {są parzyste lub nieparzyste} \ right \}. \ end {equation}

Dla każdego $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, zdefiniuj jego normę jak zwykle: \ begin {equation} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {equation} Od$m, n$są parzyste lub nieparzyste, łatwo zauważyć, że normą jest liczba całkowita. Łatwo to zauważyć$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ jest jednostką $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ wtedy i tylko wtedy gdy $m^2 - 5n^2=4$ lub $m^2 - 5n^2=-4$. Od teraz$N(4+\sqrt{5})=11$ łatwo to rozumiemy $4+\sqrt{5}$ jest nieredukowalnym elementem $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Jeśli$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ były wyjątkową dziedziną faktoryzacji, możemy to stwierdzić $(4+\sqrt{5})$ główny ideał $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Ale nie wiem czy$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$to wyjątkowa dziedzina faktoryzacji. Czy ktoś wie, czy tak jest?

Z góry dziękuję za uwagę.

Answer 1

Połączenie $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. Możemy to pokazać$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, więc ideał $(4 + \sqrt 5)$ jest maksymalny.

1. Tak jak $N(4 + \sqrt 5) = 11$, jasne jest, że elementy $0, 1, \ldots, 10$ są parami niekongruentnymi modulo $4 + \sqrt 5$.

2. Każdy element $A$ jest przystająca do całkowitej modulo $4 + \sqrt 5$: rzeczywiście, jeśli ma formę $a + b \sqrt 5$ z $a, b \in \mathbb Z$ możemy odjąć odpowiednią całkowitą wielokrotność $4 + \sqrt5$ wylądować $\mathbb Z$. Jeśli jest w formie$(a+b\sqrt5)/2$ z $a, b$ dziwne, możemy odjąć $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ wylądować $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.

Rozważmy homomorfizm pierścieniowy $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$ Na pierwszy rzut oka jest iniekcyjny. Po drugie, jest surogatywny.

Answer 2

Pole liczbowe $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ ma klasę numer jeden, ponieważ jego powiązanie z Minkowskim spełnia $B_K<2$. Stąd jego pierścień liczb całkowitych$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ jest nawet PID, a zatem UFD.

Z drugiej strony wystarczy to zobaczyć $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ jest polem, więc idealnym $(4+\sqrt{5})$ jest liczbą pierwszą.

Answer 3

Tak, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$jest UFD, ponieważ jest normą euklidesową .