Kiedy kompozycja map liniowych jest izomorfizmem

Nov 28 2020

Pozwolić $T:V\rightarrow W$ i $L:W\rightarrow U$ być liniowymi mapami między skończonymi wymiarami $\mathbb{R}$-przestrzenie wektorowe. Ciekawi mnie, kiedy$L\circ T:V\rightarrow U$ jest izomorfizmem.

Moja hipoteza jest taka $L\circ T$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Mam na myśli to$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).

Oto, co zaszedłem daleko, z tego postu wiemy o tym$L$ musi być iniekcyjny i (kłócąc się podwójnie) znajdujemy to $T$musi być subiektywna. A więc stosując lemat o rozszczepianiu : piszemy$W\cong V\oplus U$. Od$T$ jest wtedy iniekcyjny i liniowy $V\cong Im(T)$. Od teraz$L$ jest surjektywny, to jeśli $Im(T)$ przecina się $\ker(L)$ nietrywialnie (czyli więcej niż tylko o $0$) następnie $Im(L)$ ma znacznie mniejszy wymiar niż $U$; stąd nie może być surogatywny. W związku z tym,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. Odwrotny kierunek jest jasny.

Czy mój argument również się utrzyma, jeśli $L\circ T$ jest tylko iniekcyjny?

Odpowiedzi

1 Dude1662 Nov 28 2020 at 18:35

Lemat o rozszczepianiu nie ma zastosowania w tej sytuacji. Także dla$L \circ T$ być bijektywnym $L$ musi być surjektywny i $T$ iniekcyjny.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich kompozycji map. $L \circ T$ jest bijektywny iff $T$ jest iniekcyjny i $L|_{im T} $jest bijektywny. Patrząc na mapy liniowe, przekłada się to na:

$L \circ T$ jest bijektywny iff $T$ jest iniekcyjny, $L$ surjektywny i $im(T) \cap ker(L) = {0}$