Kiedy można użyć tożsamości Parseval-Plancherel do rozwiązania całki?
Całka ma postać $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Gdzie transformata Fouriera$\sigma$ funkcja jest $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ i funkcji $\mu(x)$ jest dany przez $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.
Transformacja Fouriera $\mu(x)$ można znaleźć dość łatwo $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.
Pytanie brzmi:
Czy można użyć tożsamości Parseval-Plancherel i zapisać powyższą całkę jako $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?
Jeśli tak, powyższa całka staje się $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$
Co wygląda jak transformata Fouriera $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$funkcjonować. Jak obliczana jest ta transformata Fouriera?
Odpowiedzi
Przypomnij sobie tożsamość transformaty Fouriera $K(x)=\text{sech}(x)$ jest $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.
Używając tej tożsamości, transformata Fouriera $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ można łatwo obliczyć
\ begin {equation} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ident} \ end {equation}
Korzystając z równania tej zależności, daną całkę można łatwo scałkować
\ begin {equation} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {reszta} \ end {equation}
Sprawdzanie odpowiedzi numerycznie. Fabuła: stała a działka stała c