Kinetyka równoczesnego równoległego rozpadu promieniotwórczego
Pytanie:
Izotop promieniotwórczy A ulega równoczesnemu rozpadowi do różnych jąder jako: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {tablica}
Zakładając, że początkowo nie było ani P, ani Q, po ilu godzinach ilość Q będzie tylko dwukrotnie większa niż pozostałość A?
Moje rozwiązanie:
mam $t_{1/2}$ dla $A$ tak jak $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
Teraz z prawa Rutherforda-soddy'ego liczba atomów pozostałych po$n$ pół życia są,
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
i liczbę okresów półtrwania $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
Dla izotopu $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ gdzie $T$ to zwykły czas upadku $\mathrm A$ i $\mathrm Q$
Dla $\mathrm Q$ Musiałem to założyć $\mathrm Q$ również ulega rozpadowi radioaktywnemu, tworząc związek między nimi $\mathrm A$ i $\mathrm Q$
Teraz używając tego samego wzoru co powyżej $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
Teraz stosując warunek w pytaniu, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
Podnoszenie siłą $9$ po obu stronach,
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
co oznacza,
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
W związku z tym,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
Chociaż otrzymałem odpowiedź i spełnia warunek, nadal uważam, że jest błędna z powodu przyjętego założenia $\mathrm Q$ i trzeba było zrobić coś innego, aby stworzyć związek między nimi $\mathrm A$ i $\mathrm Q$ Co więcej, w pytaniu podano, że początkowo żadne $\mathrm P$ ani $\mathrm Q$ był obecny i myślę, że to założenie to narusza.
Odpowiedzi
Równoległe lub uboczne reakcje pierwszego rzędu: Koncepcja
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
Efektywne zamówienie = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
Rozróżnij w odniesieniu do $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
podobnie,
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- proporcje $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [razy 100 jako procent]
- proporcje $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [razy 100 jako procent]
Rzeczywisty problem
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
To daje odpowiedź jako 6 godzin.
Pytanie zostało już rozwiązane przez Yashwini i udzielona odpowiedź jest prawidłowa.$^2$ W tym miejscu nastąpiłoby bardziej intuicyjne i specyficzne dla pytania wyjaśnienie.
Teraz dwie podane reakcje to:
\ begin {array} {cc} \ require {anuluj} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {tablica}
Korzystając z prawa kursu, otrzymujemy:
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
Stała szybkości reakcji pierwszego rzędu o okresie półtrwania wynoszącym $t_{1/2}$ definiuje się jako:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
Teraz podstawiając podane wartości $t_{1/2}$ do równań, otrzymujemy $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (od $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
Otóż, intuicyjnie, ponieważ obie reakcje zachodzą razem, oznaczałoby to, że na każdy jeden mol utworzonego P przypadałyby dwa mole form Q. Dlatego na każdy mol utworzonego P reagują trzy mole A (ponieważ na każdy mol P i Q wymagany jest jeden mol).
Teraz dodajemy prawa dotyczące stawek ($1$) i $(2)$ponieważ reakcje zachodzą jednocześnie, aby uzyskać:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
Teraz, ponieważ używamy relacji między $k_\mathrm{P}$ i $k_\mathrm{Q}$, mamy $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
W związku z tym wykorzystując prawo scałkowanej szybkości dla reakcji pierwszego rzędu w równaniu $(4)$otrzymujemy:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
Teraz ilość $A$ użyty tutaj byłby $A_0 -A$i otrzymujemy tę wartość:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
Teraz, jak wcześniej zauważyliśmy, na każde trzy użyte mole A powstają dwa mole Q. Oznacza to, że ilość Q teraz w mieszaninie wynosiłaby dwie trzecie$A_\text{used}$. Dlatego kwota Q byłaby:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
Teraz mamy warunek, $Q = 2A$, zastępując wartości $Q$ i $A$ do danej relacji otrzymujemy:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
Szukając $t$otrzymujemy:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
Teraz używając równania $(3)$, otrzymujemy stałą szybkości $k_\mathrm P$ być $\frac{\ln 2}{9}$. Podstawiając tę wartość do wyrażenia określającego czas, otrzymujemy:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
Dlatego czas potrzebny na wystąpienie tego warunku wynosi:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$