Kinetyka równoczesnego równoległego rozpadu promieniotwórczego

Aug 16 2020

Pytanie:

Izotop promieniotwórczy A ulega równoczesnemu rozpadowi do różnych jąder jako: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {tablica}

Zakładając, że początkowo nie było ani P, ani Q, po ilu godzinach ilość Q będzie tylko dwukrotnie większa niż pozostałość A?

Moje rozwiązanie:

mam $t_{1/2}$ dla $A$ tak jak $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

Teraz z prawa Rutherforda-soddy'ego liczba atomów pozostałych po$n$ pół życia są,

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

i liczbę okresów półtrwania $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

Dla izotopu $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ gdzie $T$ to zwykły czas upadku $\mathrm A$ i $\mathrm Q$

Dla $\mathrm Q$ Musiałem to założyć $\mathrm Q$ również ulega rozpadowi radioaktywnemu, tworząc związek między nimi $\mathrm A$ i $\mathrm Q$

Teraz używając tego samego wzoru co powyżej $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

Teraz stosując warunek w pytaniu, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

Podnoszenie siłą $9$ po obu stronach,

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

co oznacza,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

W związku z tym,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

Chociaż otrzymałem odpowiedź i spełnia warunek, nadal uważam, że jest błędna z powodu przyjętego założenia $\mathrm Q$ i trzeba było zrobić coś innego, aby stworzyć związek między nimi $\mathrm A$ i $\mathrm Q$ Co więcej, w pytaniu podano, że początkowo żadne $\mathrm P$ ani $\mathrm Q$ był obecny i myślę, że to założenie to narusza.

Odpowiedzi

6 Yashwini Aug 16 2020 at 17:52

Równoległe lub uboczne reakcje pierwszego rzędu: Koncepcja

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

Efektywne zamówienie = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

Rozróżnij w odniesieniu do $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

podobnie,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

  • proporcje $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [razy 100 jako procent]
  • proporcje $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [razy 100 jako procent]

Rzeczywisty problem

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

To daje odpowiedź jako 6 godzin.

9 Safdar Aug 16 2020 at 18:50

Pytanie zostało już rozwiązane przez Yashwini i udzielona odpowiedź jest prawidłowa.$^2$ W tym miejscu nastąpiłoby bardziej intuicyjne i specyficzne dla pytania wyjaśnienie.

Teraz dwie podane reakcje to:

\ begin {array} {cc} \ require {anuluj} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {tablica}

Korzystając z prawa kursu, otrzymujemy:

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

Stała szybkości reakcji pierwszego rzędu o okresie półtrwania wynoszącym $t_{1/2}$ definiuje się jako:

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

Teraz podstawiając podane wartości $t_{1/2}$ do równań, otrzymujemy $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (od $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

Otóż, intuicyjnie, ponieważ obie reakcje zachodzą razem, oznaczałoby to, że na każdy jeden mol utworzonego P przypadałyby dwa mole form Q. Dlatego na każdy mol utworzonego P reagują trzy mole A (ponieważ na każdy mol P i Q wymagany jest jeden mol).

Teraz dodajemy prawa dotyczące stawek ($1$) i $(2)$ponieważ reakcje zachodzą jednocześnie, aby uzyskać:

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

Teraz, ponieważ używamy relacji między $k_\mathrm{P}$ i $k_\mathrm{Q}$, mamy $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

W związku z tym wykorzystując prawo scałkowanej szybkości dla reakcji pierwszego rzędu w równaniu $(4)$otrzymujemy:

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

Teraz ilość $A$ użyty tutaj byłby $A_0 -A$i otrzymujemy tę wartość:

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

Teraz, jak wcześniej zauważyliśmy, na każde trzy użyte mole A powstają dwa mole Q. Oznacza to, że ilość Q teraz w mieszaninie wynosiłaby dwie trzecie$A_\text{used}$. Dlatego kwota Q byłaby:

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

Teraz mamy warunek, $Q = 2A$, zastępując wartości $Q$ i $A$ do danej relacji otrzymujemy:

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

Szukając $t$otrzymujemy:

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

Teraz używając równania $(3)$, otrzymujemy stałą szybkości $k_\mathrm P$ być $\frac{\ln 2}{9}$. Podstawiając tę ​​wartość do wyrażenia określającego czas, otrzymujemy:

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

Dlatego czas potrzebny na wystąpienie tego warunku wynosi:

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$