Klasyfikacja (niekoniecznie połączonych) zwartych grup Liego
Szukam klasyfikacji zwartych (niekoniecznie połączonych) grup Lie. Oczywiście wszystkie takie grupy są rozszerzeniami skończonej „grupy składników”$\pi_0(G)$ przez kompaktową, połączoną grupę Lie $G_0$: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} Klasyfikacja kompaktowych połączonych grup Lie jest mi znana, więc moja Pytanie brzmi, jak sklasyfikować takie rozszerzenia.
AKTUALIZACJA: Podejrzewam, że to prawda (ze względu na @LSpice, z moim dodatkowym wymaganiem, że $H$, $P$ są skończone):
Hipoteza :$G$ zawsze można zapisać jako $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ dla skończonych grup $H,P$, gdzie $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.
AKTUALIZACJA 2: @LSpice udowodniło to poniżej ze względu na słabsze wymagania$P$ przecina się $G_0$ w ciągu $Z(G_0)$i podał kontrprzykład, gdzie $P$ nie może być traktowany jako centralny.
AKTUALIZACJA 3: Zobacz Ulepszoną klasyfikację kompaktowych grup Lie, aby uzyskać dodatkowe pytanie (którego nie będę tutaj pisać, aby uniknąć nadmiernego bałaganu).
Mniej przydatne stwierdzenie z mojego pierwotnego pytania: takie $G$ można zbudować z $G_0$ w trzech krokach:
Weź bezpośredni produkt $G_0$ ze skończoną grupą.
Iloraz wyniku przez skończoną podgrupę jego środka.
Rozszerz skończoną podgrupę $\mathrm{Out}(G_0)$ przez wynik.
( Ogólnie rzecz biorąc, krok 3 może zawsze nie być produktem półpośrednim).
Odpowiedzi
$\DeclareMathOperator\U{U}$Rozważ macierze $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ i $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Należą one do skończonej grupy podpisanych macierzy permutacji, więc grupa, którą generują, jest skończona. Położyć$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Od$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ i $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, Grupa $G$ wygenerowane przez $G_0$, $u$, i $v$ ma $G_0$jako składnik tożsamości. Teraz pozwól$G_0 \rtimes H \to G$ być jakąkolwiek osłoną ograniczającą się do włączenia $G_0 \to G$, i pozwól $\tilde u$ być elementem $H$ którego wizerunek tkwi w $u G_0$; powiedz, że obraz jest$u d(z, w)$. Następnie$\tilde u^2$ mapy do $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, więc $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ kłamstwa w $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Gdyby$\tilde v$ jest elementem $H$ którego wizerunek tkwi w $v G_0$, następnie $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ kłamstwa w $d(1, -1) \rtimes H$, stąd nie równa się $d(-1, 1) \rtimes H$. To jest,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ nie jest w centrum $G_0 \rtimes H$.
To, co możemy zrobić, to znaleźć (ogólnie, nie tylko dla konkretnego przykładu powyżej) skończoną podgrupę $H$ z $G$ takie, że mapa mnożenia $G^\circ \times H \to G$ jest surjektywny, a jego jądro się centralizuje $G^\circ$. (W tym konkretnym przykładzie powyżej moglibyśmy wziąć$H = \langle u, v\rangle$.)
$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Aby to udowodnić, użyję kilku fragmentów teorii struktury:
- Wszystkie maksymalne tori w $G$ są $G^\circ$-sprzężony.
- Wszystkie podgrupy borelowskie $G_\C$ są $G^\circ_\C$-sprzężony.
- Za każdy maksymalny torus $T$ w $G$, Mapa $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ jest izomorfizmem.
- Gdyby $G\scform$ i $(G_\C)\scform$ są po prostu połączonymi okładkami grup pochodnych $G^\circ$ i $G^\circ_\C$, następnie $(G\scform)_\C$ równa się $(G_\C)\scform$.
- Każda kompaktowa grupa Lie ma skończoną podgrupę, która spełnia wszystkie komponenty .
Potrzebuję tylko (4), aby to udowodnić, dla każdego maksymalnego torusa $T$ w $G$, mapa z $T$ do zbioru elementów o stałej koniugacji $T/\Zent(G^\circ)$jest surjektywna. Jest to prawdopodobnie dobrze znany fakt sam w sobie dla teoretyków prawdziwych grup.
Rozważmy teraz trójki $(T, B_\C, \X)$ następująco: $T$ to maksymalny torus w $G$; $B_\C$ jest podgrupą borelowską $G^\circ_\C$ zawierający $T_\C$, z wynikowym zestawem prostych korzeni $\Delta(B_\C, T_\C)$; i$\X$ jest zbiorem składającym się z prawdziwego promienia w każdej złożonej prostej przestrzeni rdzeniowej (tj. zbiorem dodatnich rzeczywistych wielokrotności pewnych ustalonych$0$wektor). (Przepraszam, że para modyfikatorów jest „złożona prosta”.) Nazwę te „przypięcia”, chociaż nie zgadza się to ze zwykłą terminologią (gdzie wybieramy poszczególne wektory korzeni, a nie promienie). Twierdzę, że$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ działa po prostu przejściowo na zestawie przypięć.
Kiedy już osiągniemy przechodniość, swoboda jest jasna: jeśli $g \in G^\circ$ stabilizuje jakąś parę $(T, B_\C)$, to leży $T$iw ten sposób stabilizuje każdą złożoną przestrzeń korzeni; ale potem, aby ustabilizować pewien wybór promieni$\X$, musi mieć tę właściwość $\alpha(g)$ jest pozytywna i prawdziwa dla każdego prostego korzenia $\alpha$; ale również$\alpha(g)$ jest normą$1$ liczba zespolona, a więc trywialna, dla każdego prostego pierwiastka $\alpha$, stąd dla każdego korzenia $\alpha$więc to $g$ jest centralny.
Dla przechodniości, ponieważ (1) wszystkie maksymalne tori w $G$ są $G^\circ$-conjugate, więc (2) dla każdego maksymalnego torusa $T$ w $G$, grupa Weyl $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ działa przejściowo na podgrupy borelowskie $G^\circ_\C$ zawierający $T_\C$i (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ jest izomorfizmem, wystarczy pokazać, że wszystkie możliwe zbiory $\X$są sprzężone. Oto argument, który wymyśliłem, aby pokazać, że są równi$T$-sprzężony; Myślę, że prawdopodobnie można to uczynić znacznie mniej niezręcznym. Napraw prosty root$\alpha$i dwa inne niż$0$ elementy $X_\alpha$ i $X'_\alpha$odpowiedniej przestrzeni głównej. Następnie jest dodatnia liczba rzeczywista$r$ i norma$1$ Liczba zespolona $z$ takie że $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Wybierz normę$1$ Liczba zespolona $w$ takie że $w^2 = z$. Jest wtedy wyjątkowy element$s\adform$ z $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ takie że $\alpha(s\adform) = w$, i $\beta(s\adform) = 1$ dla wszystkich prostych korzeni $\beta \ne \alpha$. Przez (4) możemy wybrać windę$s\scform$ z $s\adform$ do $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, co koniecznie leży w przedobrazie $(T_\C)\scform$ z (przecięcie z pochodną podgrupą) $T$, i umieścić $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Następnie$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ i podobnie $\beta(t\scform) = 1$ dla wszystkich prostych korzeni $\beta \ne \alpha$. Teraz obraz$t$ z $t\scform$ w $G^\circ_\C$ kłamstwa w $T_\C$ i jest ustalony przez koniugację, stąd leży w $T$; i$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ leży na promieniu $X'_\alpha$.
Od $G$ działa również na zestawie pinezek, mamy dobrze zdefiniowaną mapę $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ to ogranicza się do naturalnej projekcji na $G^\circ$. Teraz$\ker(p)$ spełnia każdy składnik, ale zawiera $\Zent(G^\circ)$, więc nie musi być skończona. Zastosowanie (5) do grupy Lie$\ker(p)$ daje żądaną podgrupę $H$. Zauważ, że zgodnie z twoją ulepszoną klasyfikacją , koniugacja przez dowolny element$H$ naprawia przypięcie, więc jeśli wewnętrzne, musi być trywialne.