Kompaktowy obiekt i zwarty generator w kategorii

Question

Znalazłem dwie definicje zwartego obiektu.

( Lurie, Jacob (2009), Wyższa teoria toposu, s.392 ) Let$\mathcal{C}$być kategorią, która dopuszcza przefiltrowane colimity. Obiekt$C \in \mathcal{C}$mówi się, że jest zwarty, jeśli funktor reprezentowalny rdzeniowo$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ dojazdy z filtrowanymi okrężnicami.

( Kategorie abelowe, Daniel Murfet, Definicja 18 ) Niech$\mathcal{C}$ być kategorią i $A$ obiekt $\mathcal{C}$. Tak mówimy$A$jest zwarty (lub czasami mały), jeśli mamy morfizm$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ od $A$ w niepusty koprodukt istnieje niepusty, skończony podzbiór $J \subseteq I$ i faktoryzacji $u$ poniższego formularza $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$

Nie wiem, jak pokazać, że są one równoważne, czy mógłbyś mi pomóc?

Ponadto mamy definicję generatora kategorii abelowej.

( GENERATORY VERSUS PROJEKTYWNE GENERATORY INABELIAN CATEGORIES, CHARLES PAQUETTE, s.1 ) Niech$\mathcal{A}$być kategorią abelową. Obiekt$M$ z $\mathcal{A}$ jest generatorem $\mathcal{A}$ jeśli dla jakiegokolwiek obiektu $X$ z $\mathcal{A}$, mamy epimorfizm $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ gdzie $I$ to jakiś zbiór indeksów.

Więc jaki powinien być kompaktowy generator? Czy jest to generator taki, że istnieje faktoryzacja następującej postaci?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (wszystkie strzałki są odwrócone ??)

Dziękuję Ci bardzo!

Answer 1

Nie są równoważne. Na przykład Lurie-kompaktowe obiekty w kategorii$R$-moduły są takie same jak moduły z nieskończoną prezentacją. (To samo odnosi się do każdej kategorii algebr dla teorii Lawvere'a, tj. Teorii algebraicznej, której działania są skończone, podlegające aksjomatom równań o uniwersalnej kwantyfikacji). Z drugiej strony, obiekty zwarte Murfeta w kategorii$R$-moduły nie muszą być nawet generowane w sposób skończony (chociaż będą, jeśli $R$jest Noetherian). Odbyła się tutaj dość długa dyskusja: Obiekty „Sums-compact” = obiekty fg w kategoriach modułów?

Różne społeczności czasami różnie używają tego samego terminu. Termin „kompaktowy” jest w pewnym sensie sugestywny, ale nie sądzę, aby był zoptymalizowany.

Answer 2

Częścią podstępną rzeczą w tym kręgu idei jest to, że kilka definicji nie jest równoważnych w całości, ale stają się równoważne z dodatkowymi hipotezami. Na przykład podstawowym wynikiem dotyczącym zwartych obiektów jest następująca charakterystyka kategorii modułów, która między innymi zapewnia scharakteryzowanie ekwiwalencji Mority.

Twierdzenie (Gabriel): Współkompletna kategoria abelowa$C$ jest odpowiednikiem kategorii $\text{Mod}(R)$ modułów na pierścieniu $R$ jeśli dopuszcza kompaktowy generator projekcyjny $P$ takie że $\text{End}(P) \cong R$.

Zarówno „zwarty”, jak i „generator” w stwierdzeniu tego twierdzenia są indywidualnie niejednoznaczne. „Kompaktowy” może oznaczać Lurie-kompakt lub Murfet-kompakt, a „generator” może mieć około 7 różnych znaczeń, z których może ~ 3 są powszechnie używane (?); zobaczcie Generatory Mike'a Shulmana i zamknięcia colimit (które omawiają 5 możliwych definicji) oraz mój wpis na blogu Generatory (który omawia 6 możliwych definicji, z których 4 pokrywają się z Mike's) do dyskusji.

Szczęśliwym faktem jest to, że niemniej jednak znaczenie „zwartego generatora rzutowego” i „zwartego generatora rzutowego” w stwierdzeniu twierdzenia Gabriela jest jednoznaczne:

• w całkowicie kompletnej kategorii abelowej, „zwarty rzutowy”, przy użyciu zwartości Luriego lub zwartości Murfeta, jest równoważny warunkowi, który $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$dojazdy do pracy ze wszystkimi (małymi) kolimitami (ten stan jest również znany jako malutki ; zobacz mój wpis na blogu Małe obiekty do dyskusji) i
• dla zwartych obiektów rzutowych w całkowicie kompletnej kategorii abelowej prawie wszystkie definicje „generatora”, o których jestem świadomy, zapadają się i stają się równoważne. Ograniczę się do nazwania dwóch: najsłabszym jest to, że każdy niezerowy obiekt przyjmuje niezerową mapę z$P$ (co nazywam „słabym generatorem”; zapominam, jeśli ta nazwa jest standardowa), a najsilniejszym jest to, że każdy obiekt można zapisać jako współrównywacz pary map między koproduktami kopii $P$ (co nazywam „generatorem prezentującym”; to nie jest standard. W kategorii abelowej współrówniki można zastąpić kernelami, ale ta definicja ładnie uogólnia się na kategorie algebraiczne, takie jak grupy i pierścienie).

Jest dodatkowy niuans w stajni $\infty$- kategoryczne ustawienie, takie jak to, w którym pracuje Lurie, wydaje się, że można odrzucić projekcję, ale nie jestem pewien, jakie są dokładne stwierdzenia. Np. Wierzę, że jest stajnia$\infty$- kategoryczny odpowiednik twierdzenia Gabriela charakteryzujący kategorie modułów $E_1$ widma pierścieniowe i uważam, że analogowe to kompaktowe generatory.

W każdym razie, bez względu na to, co jest warte, zalecałbym zwartość Luriego jako „domyślne” znaczenie zwartości. Zwartość Murfeta jest dość specyficzna dla ustawienia abelowego, ale zwartość Luriego jest dobra w wielu ustawieniach; na przykład w kategorii modeli teorii Lawvere'a (grupy, pierścienie itp.) obiekt jest Lurie-compact, jeśli jest skończony. Już teraz sugeruje to niezupełnie oczywisty fakt, że dla modułów prezentowanych w sposób skończony jest niezmienna morita.

Answer 3

Aby dodać trochę kontekstu do odpowiedzi Todda, myślę, że powodem tego zamieszania jest to, że pierwotne użycie terminu „kompaktowy” w przestrzeniach topologicznych można uogólnić na różne sposoby.

Po pierwsze, w poset, dwie definicje zwartości są zgodne. Jeśli$C$ jest Lurie-Compact, a następnie produktem towarzyszącym $\sum_i A_i$ jest przefiltrowanym colimitem koproduktów skończonych podrodzin $A_i$, więc założenie implikuje, że każda mapa z $C$ w $\sum_i A_i$czynniki poprzez takie ograniczone produkty towarzyszące. (Rzeczywiście, ten kierunek nie wymaga, aby kategoria była posetem.) W przeciwnym kierunku, jeśli$C$ jest Murfet-kompaktowy, to wszystkie okrężnice w posecie są równoważnie koproduktami, więc każda mapa z $C$ do przefiltrowanego colimitu poprzez skończoną sub-colimit i przez filtrację, która wpływa na pojedynczy obiekt.

Po drugie, przestrzeń topologiczna $X$ jest zwarty, w tradycyjnym sensie, wtedy i tylko wtedy, gdy jest najwyższym elementem swojej pozycji $\mathcal{O}(X)$podzbiorów otwartych jest zwarta w każdym z tych kategorycznych znaczeń. Różnica wynika więc z uogólnienia znaczenia słowa „kompaktowy” na nie-posety na różne sposoby. (Niestety, zwarte przestrzenie topologiczne nie są na ogół ani Lurie-compact, ani Murfet-compact w kategorii przestrzeni topologicznych!)