Koncepcje opcji startowych do przodu
Rozważać $t_0<t<T$, z $t_0=0$ (data dzisiejsza) i standardowa wypłata waniliowej opcji kupna typu forward,
$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$, ze strajkiem $K$.
Jeśli cena tej opcji jest dziś notowana na $t_0$, wtedy możemy wywnioskować pewnego rodzaju zmienność implikowaną Blacka-Scholesa $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ dla którego odpowiednia cena BS jest zgodna z ceną rynkową (w $t_0$).
Teraz oznacz zmienność implikowaną przez BS w czasie $t$ opcji kupna z powyższą wypłatą wg $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. Oczywiście z punktu widzenia$t_0$ nie jest to znane jako aktualne notowania rynkowe $t$ jeszcze nie istnieją.
Moje pytanie brzmi: jak to działa $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ odnoszą się do nieznanego $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? Czy pierwszy jest tylko proxy drugiego?
Wiem, że odpowiedź może być oczywista, ale staram się przekonać samego siebie i lepiej zrozumieć pojęcia zawarte w bibliografii. Wszelkie odniesienia / łatwe do odczytania artykuły, które wyjaśniają wszystkie powyższe, są mile widziane.
Odpowiedzi
Opcje Forward-Start to bardzo ciekawe papiery wartościowe, wiele na ich temat można znaleźć w internecie. Okazuje się, że istnieje dla nich wyraźna formuła wyceny u Blacka-Scholesa, najładniejsze wyprowadzenie, jakie mogę znaleźć, jest podane w tym artykule - wzór wyceny jest następujący:

Jeśli chodzi o zmienność implikowaną terminową, okazuje się, że istnieje kilka sposobów jej zdefiniowania. W zwykłym BS zmienność jest deterministyczna przez cały czas, więc implikowana wartość forward będzie teraz taka sama jak implikowana wolumen. Jednak rzeczy stają się bardziej interesujące w lokalnych modelach Vol (które można traktować jako uogólnienie BS), w którym to przypadku deterministyczne modele vol i modele stochastyczne vol dają BARDZO różne powierzchnie do przodu vol - napisałem trochę o tym (z wykresami i kod) w innej odpowiedzi .
W razie zainteresowania okazuje się, że nawet w modelu stochastycznym Hestona vol możemy znaleźć półanalityczną formułę dla tych opcji, na przykład podaną tutaj ...


Jeśli chcesz samemu poeksperymentować, zarówno przypadek Local Vol, jak i przypadek Heston mają analityczne (a także monte-carlo) silniki wyceny dostępne za pośrednictwem QuantLib.