Krzywizna przestrzeni w pobliżu czarnej dziury
(Rygorystyczni teoretycy będą musieli wybaczyć moje sformułowanie w tej kwestii, jestem nowy w GR i większość moich zajęć fizycznych dotyczy mechaniki kwantowej)
W geometrii nieeuklidesowej możemy mówić o przestrzeni sferycznej, jak o przestrzeni wewnętrznie zakrzywionej. W przestrzeni kulistej „równoległe” linie zbiegają się do punktu. Czytałem na Wikipedii, że „Topologia horyzontu zdarzeń czarnej dziury w stanie równowagi jest zawsze sferyczna”.
Czy trafnym stwierdzeniem jest twierdzenie, że przestrzeń wokół czarnej dziury jest kulista, a zatem zbieżność „równoległych linii” spotyka się w pewnym punkcie wewnątrz horyzontu zdarzeń? Jeśli tak nie jest, czy możemy w ogóle zaklasyfikować przestrzeń wokół osobliwości jako hiperboliczną, sferyczną lub inną?
Link poniżej:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Odpowiedzi
Nie sądzę, by słuszne było opisywanie czasoprzestrzeni w pobliżu czarnej dziury jako „kulistej”. Po pierwsze, krzywizna przestrzeni zmienia się w zależności od tego, jak blisko jesteś czarnej dziury. Krzywizna kuli jest stała i nie zmienia się w zależności od położenia. Ponadto potrzebujesz więcej niż jednej liczby rzeczywistej, aby określić krzywiznę czasoprzestrzeni o wymiarach większych niż 2. (Dzieje się tak, ponieważ możesz mieć przestrzeń, w której kąty trójkąta zorientowanego w jednym kierunku sumują się do mniej niż 180 stopni , ale kąty trójkąta zorientowanego w innym kierunku sumują się do ponad 180 stopni.) Ponadto pole grawitacyjne czarnej dziury zależy w dużej mierze od tego, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a nie tylko od krzywizny przestrzennej.
Prawdopodobnie nadal można by sklasyfikować krzywiznę czasoprzestrzeni na podstawie znaków różnych komponentów tensora krzywizny, ale klasyfikacja byłaby bardziej skomplikowana niż sferyczna, płaska i hiperboliczna.
Czytałem na Wikipedii, że „Topologia horyzontu zdarzeń czarnej dziury w stanie równowagi jest zawsze sferyczna”.
Ta odpowiedź wyjaśnia, co oznacza to stwierdzenie. Oznacza to, że jeśli zaczniemy od jakiejkolwiek czarnej dziury w czasoprzestrzeni 4d, a następnie rozważymy horyzont jako samą trójwymiarową rozmaitość, ta rozmaitość ma topologię$S^2\times \mathbb{R}$, gdzie $S^2$ jest dwusferą (powierzchnią kuli) i $\mathbb{R}$jest linią. To stwierdzenie dotyczące topologii, a nie geometrii. W szczególności stwierdzenie nie mówi (prawie) nic o geodezji (lub równoległych liniach).
Nawiasem mówiąc, stwierdzenie to jest specyficzne dla czarnych dziur w czasoprzestrzeni 4d. W czasoprzestrzeni 5-dniowej czarna dziura może mieć horyzont zdarzeń o niesferycznej topologii.
Przykład
Rozważmy metrykę Schwarzschilda w czasoprzestrzeni 4d. Element line dla kosmicznych linii świata to$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ gdzie $A(r)$spada do zera na horyzoncie. Notacja$d\Omega^2$ jest skrótem części sferycznej współrzędnych: bez współczynnika $A$, kombinacja ${dr^2}+r^2d\Omega^2$byłby elementem liniowym płaskiej przestrzeni euklidesowej 3d we współrzędnych sferycznych. Dowolna stała wartość$r$definiuje podrozmaitość 3D 4-dniowej czasoprzestrzeni. Gdyby$A(r)\neq 0$, metryka indukowana na tej rozmaitości to $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ gdzie teraz $r$ i $A(r)$są stałymi. To jest standardowa miara$S^2\times\mathbb{R}$, gdzie czynnik $\mathbb{R}$ uwzględnia dodatkową współrzędną $t$. Na horyzoncie mamy$A(r)=0$i równanie (1) nie ma tam sensu. Gładka kolektor nadal ma sens tam, ale składników metryka nie. Możemy rozwiązać ten problem na dwa sposoby:
Brać $r$być arbitralnie zbliżone do tej wartości. To wystarczy, aby zobaczyć, jaka jest topologia$A(r)=0$będzie wielorakie. Równanie (1) mówi, że plik$dt^2$znika na horyzoncie, co odpowiada temu, że horyzont jest zerową hiperpowierzchnią: przemieszczenia w$t$-kierunki są lekkie (mają zerową długość).
Co więcej, możemy użyć innego układu współrzędnych, aby metryka 4d była dobrze zdefiniowana na horyzoncie. We współrzędnych Kerra-Schilda metryka Schwarzschilda ma postać$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ gdzie $V(r)$ jest dobrze zdefiniowany wszędzie z wyjątkiem at $r=0$. Horyzont odpowiada$V(r)=1$, gdzie $dt^2$termin zniknie. Oprawa$r$ równa tej specjalnej wartości daje indukowaną metrykę $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ To jest standardowa miara $S^2$, ale topologia jest w rzeczywistości $S^2\times\mathbb{R}$, gdzie $\mathbb{R}$ czynnik odpowiada za $t$-koordynować. Nie ma$dt^2$ termin w (4), ponieważ horyzont jest zerową hiperpowierzchnią: przemieszczenia w $t$-direction mają zerową długość. To jest ten sam wniosek, do którego doszliśmy wcześniej, ale teraz doszliśmy do niego bardziej bezpośrednio, ponieważ metryka (3) jest dobrze zdefiniowana na horyzoncie.