Które kompletne sieci krystaliczne są izomorficzne z iloczynem sieci nieredukowalnych?
Biorąc pod uwagę każdą rodzinę pełnych lateksów $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st dla wszystkich $i\in I$ oznaczamy $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ i $X=\prod_{i\in I}X_i$ Zauważ, że możemy zdefiniować pełną kratę $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (nazwij to ich produktem) na $X$ św $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, zdefiniowane dla $a,b\in X$ następująco: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ także jeśli $S\subseteq X$ następnie $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ i $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ ponadto każdą kratę z jednym elementem nazywamy trywialną i mówimy, że jest to krata kompletna $\mathfrak{L}$ jest nieredukowalna, jeśli nie istnieje rodzina dwóch lub więcej nietrywialnych pełnych sieci przestrzennych $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ św $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Mając to wszystko powiedziane, moje pytanie brzmi: kiedy kompletne sieci krystaliczne są izomorficzne z iloczynem nieredukowalnych sieci? Na przykład czy istnieją jakieś „podstawowe” lub „przydatne” kryteria określające to? Jakie są przykłady pełnych sieci przestrzennych, które nie są izomorficzne z żadnym produktem nieredukowalnych sieci? Czy ktoś mógłby mi dać kilka z nich?
Niewątpliwie każda skończona pełna sieć jest izomorficzna z iloczynem nieredukowalnych sieci, ponieważ jeśli sama krata jest nieredukowalna, to robimy inaczej, możemy to rozłożyć na dwie sieci, które są podsieciami rodzica, a zatem można je wyrazić jako kraty na zbiorach mniejszych niż zbiór nadrzędny, w ten sposób powtarzając ten proces w kółko, w końcu dostarczy nam rodzinę nieredukowalnych krat, których iloczyn jest równy naszemu rodzicowi (proces ten musi się zakończyć dla każdej z tych krat będzie na mniejszych zbiorach iz definicji każda trywialna sieć jest nieredukowalna więc jeśli zdarzy się, że zredukujemy taką kratę do zestawu na jednym elemencie, skończymy).
Ponadto, jeśli jakakolwiek pełna krata $L_1\cong L_2\times L_3$nie jest wtedy izomorficzny z produktem nieredukowalnych sieci$L_2$ lub $L_3$są nie izomorficzna z produktem nieredukowalnej krat więc stosując poprzedni proces widzimy każdy kraty nie izomorficzna do według wzoru: niesprowadzalnych krat musi zawierać nieskończoną liczbę sublattices również nie jest izomorficzna z produktem nieredukowalnej krat ..
Odpowiedzi
W przypadku krat rozdzielczych istnieje dość prosty sposób zrozumienia tych pytań. Mianowicie zwróć uwagę, że jeśli$L=A\times B$ jest iloczynem dwóch krat, elementów $(1,0)$ i $(0,1)$ są uzupełnieniami siebie nawzajem (ich połączenie to $1$ a ich spotkanie jest $0$). I odwrotnie, jeśli$L$ jest kratą dystrybucyjną i $a,b\in L$ są więc wzajemnymi dopełnieniami $L\cong A\times B$ gdzie $A=\{x\in L:x\leq a\}$ i $B=\{x\in L:x\leq b\}$. Rzeczywiście, istnieje mapa zachowująca porządek$f:L\to A\times B$ mapowanie $x$ do $(x\wedge a,x\wedge b)$ i mapę $A\times B\to L$ wysyłanie $(x,y)$ do $x\vee y$ jest odwrotna do $f$ od $L$ ma charakter dystrybucyjny.
Tak więc krata dystrybucyjna jest nieredukowalna, jeśli nie ma nietrywialnych uzupełnionych elementów. Zestaw elementów uzupełniających w dowolnej sieci dystrybucyjnej$L$ tworzy algebrę Boole'a, którą będę nazwać $B(L)$. Ponadto, jeśli krata dystrybucyjna$L$ jest produktem $\prod_{i\in I} L_i$, następnie $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
W szczególności, jeśli $L$ jest produktem (nietrywialnych) nieredukowalnych sieci $\prod_{i\in I} L_i$, następnie $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, ponieważ każdy $B(L_i)$ to tylko krata dwóch elementów $\{0,1\}$. Ponadto,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ gdzie $e_i\in L$ jest $1$ na $i$ta współrzędna i $0$ na innych i na tych elementach $e_i$ to tylko atomy algebry Boole'a $B(L)$. Dzięki tej identyfikacji projekcja$L\to L_i$ to tylko mapa $x\mapsto x\wedge e_i$.
W związku z tym dochodzimy do wniosku, że sieć dystrybucyjna $L$ jest izomorficzna z iloczynem nieredukowalnych krat na mapie $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ jest izomorfizmem, gdzie $I$ jest zbiorem atomów $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$i $i$th współrzędna $f$ to mapa $x\mapsto x\wedge i$. Gdyby$L$ jest kompletna, te $L_i$automatycznie się również zakończy. W szczególności warunek konieczny dla$L$ być izomorficznym z iloczynem nieredukowalnych sieci $B(L)$ być izomorficznym z potęgą algebry Boole'a.
Na przykład, jeśli $L$ jest więc kompletną algebrą Boole'a, która nie jest izomorficzna z potęgą $L$nie jest produktem nieredukowalnych sieci. Aby uzyskać wyraźny przykład,$L$ może być kratą regularnych otwartych podzbiorów $\mathbb{R}$lub krata podzbiorów Borela $\mathbb{R}$ zbiory modulo miary Lebesgue'a $0$. Na inny przykład$L$może być kratą otwartych podzbiorów zbioru Cantora. Następnie$B(L)$ jest algebrą Boole'a podzbiorów Clopen zbioru Cantora, który jest bezatomowy (aw rzeczywistości nie jest nawet kompletny).
Na przykład gdzie $B(L)$ to zestaw mocy, ale $L$ nadal nie jest produktem nieredukowalnych krat $L$ być kratą otwartych podzbiorów $\beta\mathbb{N}$. Następnie$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, ale jego atomy są singletonami $\{n\}$ dla $n\in\mathbb{N}$ więc mapa $L\to\prod_{i\in I}L_i$ jak opisano powyżej jest mapą $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ wysyłanie otwartego podzbioru plików $\beta\mathbb{N}$ do przecięcia z $\mathbb{N}$, który nie jest iniekcyjny.