Mogą $\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$ być generowane tylko przez dwa elementy?

Question

Pozwolić $\mathbb{Q}(x,y)$ być polem funkcji wymiernych w zmiennych $x, y$ z racjonalnymi współczynnikami i rozważ jego podpole $K=\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$. Czy istnieją$p, q \in K$ takie że $K=\mathbb{Q}(p,q)$? Jeśli odpowiedź jest twierdząca, czy możesz wyraźnie znaleźć takie dwa elementy?

To pytanie zadał Reuns w swojej niezwykłej odpowiedzi na mój poprzedni post https://math.stackexchange.com/questions/3902911/subextensions-of-finitely-generated-fields. Gdybym kierował się intuicją, założyłbym się, że odpowiedź jest przecząca, ale nie mam pojęcia, jaki jest możliwy dowód. Każda pomoc jest mile widziana.

Answer 1

Mamy $K={\bf Q}(x,y)$.

Dlatego $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ po to aby $xy\in K$ i $x=(x^3+xy(x+y))/((x+y)^2-xy)$.