Najlepszy sposób na rozwiązanie głupio skomplikowanego parametrycznego równania nieliniowego z redukcją / rozwiązaniem itp
Mam parametryczną funkcję nieliniową, która jest dosłownie koszmarem. Wiem, że korzenie istnieją, są prawdziwe, a oba parametry p,e
są pozytywne. To, czego oczekiwałem od Mathematica, to dostać rozwiązanie (w postaci korzenia, bez formy zamkniętej), ale nawet pozwalając programowi działać przez całą noc, poddałem się. Nie mogę zrozumieć, czy to ja nie opisuję problemu w efektywny sposób, czy to mój komputer wymaga poważnych ulepszeń, czy też problem jest po prostu zbyt trudny dla metod takich jak Reduce lub Solve. Jeśli sprawa jest druga, myślę, że jestem skazany ... Jakaś wskazówka dotycząca pozostałych dwóch? Dzięki za pomoc.
Moje próby i równanie:
f[x_]:=(1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Reduce[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Solve[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Odpowiedzi
Jeśli przybliżona odpowiedź jest zadowalająca, możesz spróbować użyć NDSolveValue. Twoja funkcja:
f[x_] := (1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Aby użyć NDSolveValue, musimy znać warunek brzegowy. Na przykład, oto wartość x
when p
to 1
:
x1 = x /. Block[{p=1}, First @ Solve[f[x] == 0, x]]
Korzeń [256006399839996 + 1023948800640 e + (255942399200020 - 3071999998080 e) # 1 + (511955203840004 + 2304217598880 e) # 1 ^ 2 + (1279846402079976 - 2048025605760 e) # 1 ^ 3 + (-9602799842) # 1 ^ 2 + (1279846402079976 - 2048025605760 e) # 1 ^ 3 + (-9602799842) 1 (192129617159615 + 4095897593600 e) # 1 ^ 5 + (-384151995680463 - 512486397600 e) # 1 ^ 6 + (-3455678391520375 + 2047846414080 e) # 1 ^ 7 + (2880427177039798 - 332788480 e) # 1 1024102385280 e) # 1 ^ 9 + (43199520578 + 256064008800 e) # 1 ^ 10 + (-14402879738 - 25598080 e) # 1 ^ 11 + (-359829 + 12802240 e) # 1 ^ 12 + 360087 # 1 ^ 13 + ( 9 + 160 e) # 1 ^ 14 + 9 # 1 ^ 15 &, 1]
Teraz możemy użyć NDSolveValue:
sol = NDSolveValue[
{
D[f[x[p,e]]==0, p], x[1, e] == x1},
x,
{p,.1,100},
{e,.1,10000},
MaxStepFraction->.0005,
PrecisionGoal->10
]; //AbsoluteTiming
{19.2292, Null}
Sprawdź losowe próbki:
Block[{p = 50, e = 200}, f[sol[p, e]]]
Block[{p = 10, e = 2000}, f[sol[p, e]]]
6,42413 * 10 ^ -9
8,0893 * 10 ^ -9
Wyobrażanie sobie:
Plot3D[sol[p,e], {p,.1,100}, {e,.1,10000}]

FWIW, oto połowa rozwiązania: weź licznik, zracjonalizuj go tak, aby był wielomianem i znajdź pierwiastki. Pozostaje tylko wybrać te, które są pozytywne, kiedy są p
i e
są pozytywne. Ten krok zajmuje dużo czasu (jeśli w ogóle można to zrobić), z wyjątkiem sytuacji, gdy określone wartości liczbowe są podane dla p
i e
.
num = Simplify[ff, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] // Together //
Numerator // Simplify[#, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] & //
FactorList // #[[-1, 1]] & // Simplify
(* p Sqrt[-e (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2)] (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3)) - 4 Sqrt[10] e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3)) *)
Sprawdź, czy są dwa terminy (pierwszy oczywiście zawiera rodnik):
Length@num
(* 2 *)
rat = num*MapAt[-# &, num, 1] // Expand // Simplify
(* e (p^2 (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2) (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3))^2 + 160 e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3))^2) *)
Solve[rat == 0, x]
(* <15 Root objects> *)
Te pierwiastki zawierają obce rozwiązania i wydaje się, że trzeba podstawić wartości liczbowe, aby parametry z nimi współpracowały. Jeśli takie podejście jest przydatne, być może zastąpienie parametrów w f[x]
wynikowym równaniu i zajęcie się nim f[x] == 0
mogłoby być lepsze.