Nierozkładalne integralne reprezentacje grupy rzędu 2 „ręcznie”

Aug 15 2020

To pytanie jest duplikatem pytania MO z 2010 roku .

Interesuje mnie klasyfikacja klas izomorfizmu $n$-wymiarowe reprezentacje całkowe grupy cyklicznej $C_2$ zamówienia $2$. Oczywiście każda integralna reprezentacja domeny$C_2$jest bezpośrednią sumą nierozkładalnych reprezentacji całkowych.

Następujący wynik jest dobrze znany:

Twierdzenie. Grupa$C_2$ ma dokładnie 3 klasy izomorfizmu nierozkładalnych reprezentacji całkowych:

(1) trywialne;

(2) przedstawienie znaku;

(3) dwuwymiarowa reprezentacja z macierzą $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

Ten wynik został stwierdzony w odpowiedzi Victora Protsaka . Zobacz także odpowiedź Todda Leasona .

W swoim komentarzu Victor Protsak podaje odniesienie. Pisze: „Curtis i Reiner, rozdział 11. Jest to szczególny przypadek twierdzenia w sekcji 74, który klasyfikuje integralne reprezentacje cyklicznych grup pierwszego rzędu. Oczywiście ten przypadek jest znacznie łatwiejszy i można go wykonać ręcznie”.

Pytanie. Jak udowodnić powyższe twierdzenie „ręcznie”, bez odniesienia do książki Curtisa i Reinera?

Motywacja: zajmuję się teraz algebraią$\mathbb R$-tori. Są klasyfikowane przez integralne reprezentacje grupy Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, czyli grupa zleceń $2$. Aby zrozumieć dobrze znaną klasyfikację nierozkładalnych$\mathbb R$-tori, muszę zrozumieć dobrze znaną klasyfikację nierozkładalnych reprezentacji całkowych ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.

Zadałem to pozornie elementarne pytanie na Mathematics StackExchange , ale nie otrzymałem odpowiedzi ani komentarzy, więc zadaję je tutaj.

Odpowiedzi

2 LSpice Aug 16 2020 at 20:49

W Computing with real tori , Casselman ma ładny opis tego twierdzenia z punktu widzenia nie tylko udowodnienia, że ​​są to jedyne nierozkładalne torusy, ale, zakładając, że otrzymujesz wyraźną integralną reprezentację$\operatorname C_2$, jawnie znajdując / obliczając jego rozkład na te trzy reprezentacje.

W rzeczywistości, jeśli Ty (jesteś ogólnym czytelnikiem, niekoniecznie @MikhailBorovoi) nie znasz ostatnich prac Billa Casselmana, warto sprawdzić jego stronę http://www.math.ubc.ca/~cass; od jakiegoś czasu był bardzo zainteresowany wykonywaniem rzeczywistych obliczeń w sensie rzeczy, które można wprowadzić do komputera, związanych z grupami algebraicznymi. Powyższe jest jednym przykładem; inne można znaleźć pod adresemhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, w tym na przykład Obliczanie stałych struktury według Jacquesa Titsa - rzeczy, o których wszyscy wiemy, mogą być zrobione, ale większość z nas (przynajmniej ja!) cofnęłaby się przed wykonaniem , tutaj przedstawione w sposób, który pokazuje, jak przeprowadzić to praktycznie.

(Jest też trochę fajnych rzeczy na temat grafiki matematycznej !)