Obliczanie granicy ilorazu dwóch nieskończonych sum

Question

Jak mogę oszacować ten limit?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

Według WolframAlpha, limit musi wynosić 2, ale jak mogę to pokazać? Widzę, że narastanie jest monotonne, więc kiedy mogę się pokazać$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, byłoby to zrobione. Ale trochę utknąłem ...

Answer 1

zwróć uwagę, że mianownik można przepisać na $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Po tym stanie się to całkiem proste: podziel licznik i mianownik przez $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. To daje ci limit$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

Reguła L'Hopital ma wersję dyskretną, pod pewnymi warunkami; jest zwykle znane jako twierdzenie Stolza-Cesaro . Tutaj sumowanie traktujemy jako integrację (i odwrotnie, przyjmowanie różnic jako różnicowania). Stwierdzenie to zwykle wygląda mniej więcej tak: jeśli sekwencja$\{ b_n \}$ jest pozytywne i $\sum b_n = \infty$ (tj. rozbieżne), a następnie dla dowolnej sekwencji $\{ a_n \}$ reals takich, że $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, mamy

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Całkiem fajną konsekwencją tego jest test porównawczy granic.

Dla podanego przykładu weź $a_n = 1/n$ i $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ dostać $2$ jako limit.

Answer 3

Intuicyjne wyjaśnienie:

Stosunek jest

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ i do uprawy $k$, termin $\frac12$staje się coraz mniej znaczący. Jednocześnie obie serie są rozbieżne, więc początkowe warunki nie mają znaczenia.

---

Poważniejszym argumentem można by ująć sumy w przedziały przez całkowanie i uzyskać granice formularza $\log n+c$. Następnie ściskając

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

Porównując termin po terminie, mamy $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Podobnie, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ A zatem, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ i dlatego, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Teraz zastosuj twierdzenie o wyciskaniu.