Obliczanie rozszerzeń szeregów w macierzy: macierz wykładnicza
mam $(3 \times 3)$ matryca $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ dla którego chciałbym obliczyć macierz wykładniczą $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ Jeśli pozwolę $z : = e^{i \theta}$, Mam $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ i $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ Oprawa $|z| = 1$ i obliczanie macierzy wykładniczej powyżej piątej potęgi $Y^5$, Mam $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ Myślę, że muszę być w stanie to przepisać przy pomocy $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ i $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Na przykład, jeśli spojrzę na plik $a_{22}$ termin powyżej, widzę, że jest prawie $\cos(t)$, z wyjątkiem czynników liczbowych, które nie działają. Ponadto$a_{11}$ Termin jest prawie $\cos(t)$, chyba że pojawia się termin $\overline{z} (z+ z)$ począwszy od czwartej potęgi i to samo dzieje się z $a_{33}$ termin z $z$ i $\overline{z}$przełączane. Plik$a_{32}$ wydaje się być $z \sin(t)$, ale znowu współczynniki liczbowe nie działają.
Pytanie: Czy ktoś rozpoznaje wzorzec w tych wpisach (tj. Szereg) i jest w stanie obliczyć wykładniczą macierz$e^{tY}$ w formie zamkniętej?
Ponadto, co byłoby wykładnicze macierzy $\exp(tZ)$ uogólnienia $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ z $z = e^{i \theta}$ jeszcze raz?
Odpowiedzi
Oprawa $z = e^{i \theta}$to dobry pomysł. Staje się trochę jaśniejsze, jeśli$(- e^{-i \theta})$ jest zastąpiony przez $-1/z$ zamiast $-\overline z$ (i sprawia, że wynik jest poprawny nawet w przypadku złożonych $\theta$).
Więc mamy $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ i pierwsze moce są $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ Można to zobaczyć $\boxed{Y^3 = -2Y}$, co pozwala obliczyć wszystkie potęgi $Y^n$ pod względem $Y$ lub $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ dla $k \ge 1$. W związku z tym$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Ogólny przypadek opisano w Computing the Matrix Exponential The Cayley-Hamilton Method : If$A$ jest $n$-wymiarowa macierz kwadratowa i $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ zera charakterystycznego równania $\det(\lambda I - A) = 0$, następnie $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ gdzie $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ są rozwiązaniami układu równań liniowych $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
W naszym przypadku $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ ma zera $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. System równań liniowych to$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ Rozwiązaniem jest $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ potwierdzenie wyniku dla $\exp(tY)$ które uzyskaliśmy powyżej.