"Odwrotność" $N$-problem z ciałem [zamknięty]

Question

Jest dobrze znany $N$- problem ciała w mechanice klasycznej: biorąc pod uwagę pozycje początkowe i prędkości $N$ cząstki w jakiejś przestrzeni, opisz ich dynamikę w pewnym przedziale czasu.

Interesuje mnie pewna forma problemu „odwrotnego”: załóżmy, że wiemy, że istnieją $(N+1)$cząstki w jakiejś przestrzeni. Otrzymujemy trajektorie$N$tych cząstek w pewnym przedziale czasu. Problem w tym, żeby przywrócić trajektorię$(N+1)$-ta cząstka w tym samym przedziale czasu.

Zakłada się, że znane jest podstawowe pole siłowe. Na przykład możemy założyć, że każda para cząstek jest przyciągana zgodnie z prawem odwrotności kwadratów.

Jaka jest poprawna ogólnie przyjęta nazwa tego problemu? Czy ten problem jest opisany w literaturze?

Answer 1

Jeśli układ jest izolowany, to środek masy tego układu porusza się ze stałą (zwykle zerową) prędkością $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ Jeśli $\mathbf{r}_i(t)$ są znane wszystkim $i=1,\ldots,N$, następnie $\mathbf{r}_{N+1}(t)$można uzyskać z tego równania: \ begin {equation} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {equation} To równanie zawiera 2 nieznane parametry : początkowe położenie środka masy$\mathbf{r}_0$ i jego prędkość $\mathbf{v}_c$. Parametry te można (przypuszczalnie) uzyskać, wymagając zachowania równań ruchu (ponieważ znane jest prawo interakcji).

AKTUALIZACJA:

Pozyskać $\mathbf{r}_0$ i $\mathbf{v}_c$ z równań ruchu:

Załóżmy, że energia potencjalna to: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Wtedy równanie ruchu każdej cząstki wygląda następująco:$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Dla pierwszej cząstki: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Podstawienie rozwiązania (1) do równania (2) i ustawienie $t=0$ prowadzi do równania dla $\mathbf{r}_0$. Oczywiście równanie może być nieliniowe i może mieć wiele rozwiązań.

Po $\mathbf{r}_0$ jest znalezione, $\mathbf{v}_c$ można uzyskać z tego samego równania (2) dla $t>0$.