Ograniczenia, w ramach których $\rho(x, y) = |x - y|^d$ spełnia nierówność trójkąta
Czy można to udowodnić za pomocą czysto algebraicznych środków (bez natychmiastowego uciekania się do kontrprzykładów) $\rho(x, y) = |x - y|^d$ nie spełnia nierówności trójkąta $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ dla $d = 2$? I pod jakimi ograniczeniami$x, y, z$czy zaspokaja nierówność? Próbuję zrozumieć, dlaczego$\rho$ nie może być prawidłową metryką na $\mathbb R$.
Pytanie dodatkowe: za jakie inne wartości $d \in \mathbb R$ robi $\rho$ nie spełniają nierówności trójkąta.
Odpowiedzi
Nierówność jest równoważna $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ dla $a, b \geq 0$. Kładzenie$a=b=1$ widzimy to $2^{d} \leq 2$. W związku z tym$d \leq 1$jest warunkiem koniecznym. Dla każdego$d \in (0,1]$nierówność jest ważna. Można to udowodnić, obserwując to$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ maleje funkcja $a$ i znika, gdy $a=0$.
Gdy $d<0$, $|x-y|^{d}$ nie jest nawet zdefiniowane, kiedy $x=y$ więc nie daje metryki. $d=0$ jest pozostawione tobie.