Ograniczenie minimalnej wartości własnej symetrycznej macierzy za pomocą norm macierzy
Czytam artykuł, w którym autorzy udowadniają nierówność w następującej formie:
$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$
Tutaj $H$ i $H'$ są symetrycznymi macierzami rzeczywistymi ($H'$ ma wszystkie dodatnie wartości własne, jeśli ma to znaczenie), a normy to $L_2$odpowiednio norma macierzy i norma Frobeniusa. Bez uzasadnienia autorzy twierdzą wówczas:
$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$
gdzie $\lambda_\text{min}$ jest minimalną wartością własną macierzy.
Nie rozumiem, jak to uzasadnić, a nawet jeśli (2) ma być nawet wywnioskowane z (1). Oto artykuł - koniec dowodu lematu 3.2, strona 6.
Odpowiedzi
Ta odpowiedź jest oparta na tej . Poniżej będziemy pracować z jakimś dowolnym iloczynem wewnętrznym, a kiedy bierzemy normę macierzy, oznacza to normę operatora powiązaną z normą wektorową, której używamy. Mamy:
Twierdzenie. Jeśli$A$ i $B$ są naprawdę symetryczne, to:
$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$
Aby to udowodnić, kluczem jest wyrażenie $x^T Mx$, gdzie $M$ jest macierzą symetryczną i $x$ma normę jednostkową. Potrzebujemy dwóch lematów na temat tego wyrażenia.
Lemat 1. Dla dowolnej macierzy$M$ i dowolna norma jednostkowa $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Dowód. Proste zastosowanie Cauchy'ego-Schwartza i definicji normy operatora:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$
Lemat 2. Dla dowolnej macierzy symetrycznej$M$ i dowolna norma jednostkowa $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ a granice są osiągane jako $x$ zmienia się w sferze jednostkowej.
Dowód. Pozwolić$M=P^TDP$ gdzie $P$ jest ortogonalna i $D$jest przekątna. Następnie$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Tak jak $x$ zmienia się w sferze jednostkowej, $Px$ zmienia się również w całej sferze jednostkowej, dlatego zakres tego ostatniego wyrażenia powyżej jest po prostu zakresem $y^TDy$ tak jak $y$rozciąga się na sferze jednostkowej. Przez przegrupowania nierówności oraz niektórych innych prostych argumentów, minimalna zostanie osiągnięta, gdy$y$ jest wektorem własnym skojarzonym z $\lambda_\text{min}(M)$ i maksymalny kiedy $y$ jest wektorem własnym skojarzonym z $\lambda_\text{max}(M)$.
Wreszcie możemy udowodnić twierdzenie. Dla dowolnej normy jednostkowej$x$, mamy
$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$
Stosując Lemat 1 do drugiego terminu i Lemat 2 do pierwszego członu, minimum lewej strony wynosi co najmniej $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Z Lematu 2 wiemy, że minimum lewej strony jest równe$\lambda_\text{min} (A)$. Podobny argument pokazuje inną nierówność w twierdzeniu.