$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ gdzie $\gamma$ jest elipsą $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Dec 04 2020

$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ gdzie kontur $\gamma$ jest elipsą $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ przeszedł zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Trudność polega na tym, jak przełożyć wzór elipsy na ścieżkę analityczną. dla koła to łatwe ($e^{zi}$), ale nie wiem, jak to zrobić dla elipsy.

Odpowiedzi

1 Buraian Dec 04 2020 at 01:00

$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$

Wyjaśnienie:

$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$

Teraz, dla elipsy do parametryzacji trignomeetrycznej: $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$, podłącz to samo do złożonej funkcji w $t$

2 achillehui Dec 04 2020 at 01:44

Zapomnij o jawnej parametryzacji $\gamma$, po prostu użyj twierdzenia Stoke'a . W szczególności użyj wersji podanej w złożonych współrzędnych.

Pozwolić $E$ być elipsą ograniczoną przez $\gamma$. Od$\gamma$ spaceruje $E$ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest „ujemna” w stosunku do orientacji $\partial E$, granica elipsy. Zastosuj twierdzenie Stoke'a w złożonych współrzędnych, mamy

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ Jeśli chodzi o współrzędne kartezjańskie,

$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$jest po prostu elementem obszaru. Ponieważ elipsa$E$ ma osie pół-duże / mniejsze $3$ i $2$, mamy:

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$

Dla porównania powtórzmy obliczenia we współrzędnych kartezjańskich.

Możemy sparametryzować $E$ tak jak

$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$

Od $\gamma$ spaceruje $E$ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, znak przed $\sin\theta$jest negatywna zamiast pozytywna. Podłącz je do oryginalnej całości

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ Odrzucając warunki, które wyraźnie się nie przyczyniają, otrzymujemy

$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ Ten sam numer $36\pi i$ uzyskaliśmy wcześniej.