Ostatnie twierdzenie Fermata $\pm1$
Planuję wyzwanie na na kod Golf.SE o całkowitych$a, b, c \ge 0$ takie że
$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$
dla danej liczby całkowitej $n > 2$. Interesuje mnie jednak, czy istnieją jakieś nietrywialne rozwiązania tego problemu$n$. Tutaj definiuję „nietrywialne” rozwiązania jako potrójne$a, b, c$ takie wszystkie trzy są unikalne i niezerowe (tj. należy unikać $(a, 1, a)$ i $(a, 0, a)$i pokrewne tróje).
Znalazłem to pytanie, które zadaje pokrewne (i szersze) pytanie o istnienie takich trójek, a przyjęta odpowiedź brzmi:
Myślę, że jeśli $n\ge5$ (i zakładając hipotezę ABCD), to dla dowolnego $k$, równanie $$ a^n + b^n - c^n = k $$ ma tylko skończenie wiele rozwiązań $a,b,c\in\mathbb{Z}$ z $|a|,|b|,|c|$ odrębny i niezerowy.
Jednak to nie w pełni określa, czy istnieje niezerowa liczba różnych, niezerowych rozwiązań.
To jest program, który próbuje znaleźć takie tróje przy pomocy$0 \le a, b, c \le 100$, biorąc pod uwagę dane wejściowe $n$, ale jak dotąd nie znalazł żadnego dla żadnego $n = 4$ lub $n = 5$i przekroczy limit czasu, jeśli zwiększysz górną granicę o jakąkolwiek znaczącą wartość.
Dlatego moje pytanie brzmi:
- Czy można to wykazać dla wszystkich liczb całkowitych $n > 2$, równanie $a^n + b^n = c^n \pm 1$ ma co najmniej 1 nietrywialne rozwiązanie dla $a, b, c \ge 0$?
- Jeśli nie, rozszerza zakres $a, b, c$ do $\mathbb{Z}$ wpłynąć na to czy zmienić?
Odpowiedzi
[ZMIENIONO] Prawdopodobnie nie ma żadnych rozwiązań dla $n \ge 4$. Dla$n \ge 5$rozwiązanie byłoby kontrprzykładem dla hipotezy Landera, Parkina i Selfridge'a . Najlepszym „near miss” FLT, o jakim wiem, jest$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.
W wiadomości „ Przypuszczenie związane z ostatnim twierdzeniem Fermata ” wysłanej na Listę teorii liczb 26 września 2015 r. Napisałem, co następuje:
W 1936 r. Odkrył to K. Mahler $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ Wyraźnie, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ i $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$
Tutaj przedstawiam moje następujące przypuszczenie, które można postrzegać jako dalsze udoskonalenie Ostatniego Twierdzenia Fermata.
CONJECTURE (24-25 września 2015). (i) Dla dowolnych liczb całkowitych$n > 3$ i $x,y,z > 0$ z $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, mamy $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$
chyba że $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ i $z = 17$.
(ii) Dla dowolnych liczb całkowitych $n > 3$ i $x,y,z > 0$ z $z\not\in\{x,y\}$, jest liczba pierwsza $p$ z $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$
chyba że $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ i $z = 17$.
(iii) Dla dowolnych liczb całkowitych $n > 3$, $x > y \ge0$ i $z > 0$ z $x\not=z$, zawsze istnieje liczba pierwsza $p$ z
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$
Sprawdziłem to nowe przypuszczenie przez Mathematica. Na przykład zweryfikowałem część (i) przypuszczenia dla$n = 4,\ldots,10$ i $x,y,z=1,\ldots,1700$.