Pierścienie kompaktowe S-unital są profinite
Jest dobrze wiadomo, że kompaktowe Hausdorffa topologiczne unital pierścienie są proskończonych. Dowód uogólnia się na (lewy lub prawy) pierścienie s-unitalne (tj. Pierścienie takie, że dla wszystkich$r\in R$ mamy $r\in Rr$ lub dla wszystkich $r\in R$ mamy $r\in rR$).
Czy istnieje odniesienie do tego bardziej ogólnego faktu? Czy istnieje dalsze uogólnienie (tj. Interesująca klasa pierścieni, zawierająca pierścienie s-unitalne, dla których zwarty Hausdorff implikuje profinit)?
(Zauważ, że nie jest to prawdą dla wszystkich pierścieni, jak w przypadku każdej zwartej grupy abelowej Hausdorffa $A$, możemy obdarować $A$ z mnożeniem przez zero, co czyni go zwartym pierścieniem topologicznym Hausdorffa).
Odpowiedzi
Zasadniczo odpowiedź na to pytanie znajduje się w jednej z odpowiedzi: Czy każdy zwarty pierścień topologiczny jest pierścieniem zwartym? .
Jeśli zwarty pierścień $R$ albo nie dopuszcza żadnego elementu $r\neq 0$ z $rR=0$albo warunek podwójny lewa-prawa, wtedy jest profinityczny. Jest to warunek, który wywołuje i osadza mapa mnożenia$R$ do endomorfizmów podwójnego Pontryagina z jego grupy addytywnej, której używasz do udowodnienia całkowitego odłączenia.
Zobacz Thm 3 of On Compact Topologica Rings. przez Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244