Pochodna czasowa odwzorowania $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - nieskończenie mały generator

Question

Czy ktoś może wyjaśnić równanie $1$ w tym https://math.stackexchange.com/a/697412/767953w prostszej formie? Nie mogę też zrozumieć, jak z równania$1$ widzimy to $u$ jest rozwiązaniem równania ciepła.

Answer 1

Wskazówka

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ do 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ do 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Pozwoliłem ci uzasadnić każdą równość jako pracę domową. Jeśli chodzi o twoje drugie pytanie, możesz udowodnić, że nieskończenie mały generator ruchu Browna, jeśli jest dany przez$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Zrób to jako zadanie domowe, jeśli nie jest to dla Ciebie jasne.