Podgrupy wolnych grup, które unikają zajęć koniugacyjnych
Pozwolić $G = (\mathbb Z/2\mathbb Z)^{\ast m}$ być wolnym produktem niektórych grup zamówień $2$. Pozwolić$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ być generatorami.
Czy mogę znaleźć wolną, nieabelową podgrupę plików $G$ który nie ma żadnych nietrywialnych elementów sprzężonych z żadnym $\alpha_i \alpha_j$? Jak mogę to udowodnić?
Odpowiedzi
Odpowiem na mocniejszą wersję twojego pytania, w której zestaw słów $\alpha_i \alpha_j$ jest zastępowany dowolnym skończonym podzbiorem $A \subset G$.
Nie jest to możliwe, jeśli $m=1$ dlatego $G$ jest w tym przypadku skończona i dlatego nie ma wolnej, nieabelowej podgrupy.
Nie jest też możliwe, jeśli $m=2$ dlatego $G$ jest nieskończoną dwuścienną grupą, która ma podgrupę abelową o indeksie 2 (w rzeczywistości cykliczną) i dlatego nie ma wolnej podgrupy nieabelowej.
Więc musimy założyć $m \ge 3$.
Każdy element $G$ jest jednoznacznie wyrażane jako „zredukowane słowo” oznaczające ciąg postaci $\alpha_{i_1} .... \alpha_{i_k}$ w którym dowolne dwie kolejne litery $\alpha_{i_j} \alpha_{i_{j+1}}$są nierówne. Tożsamość odpowiada pustemu słowu z$k=0$.
Każda klasa koniugacji w $G$ma przedstawiciela, który jest wyrażony pół-jednoznacznie jako „cyklicznie zredukowane słowo”, co oznacza, że jest zredukowany i $b_{i_m}, b_{i_1}$są nierówne; przez „pół-unikalny” mam na myśli, że taki przedstawiciel klasy koniugacji jest unikalny aż do cyklicznej permutacji słowa.
W porządku, więc pierwszym krokiem jest wyrażenie klasy koniugacji każdego elementu $A$ jako cyklicznie zredukowane słowo, a następnie weź $k$ być maksymalną długością tych słów.
Oto szczególnie prosta konstrukcja, jeśli $m \ge 4$.
Wybierz wyraźne zredukowane słowa $w,v$ długości $>k$ takie, że litery początkowe i końcowe $w$ i $v$ to 4 różne litery, na przykład: $$w = (\alpha_1 \alpha_2)^k \alpha_3 $$ $$v = (\alpha_2 \alpha_3)^k \alpha_4 $$ Wynika z tego, że każde nietrywialne zredukowane słowo w literach $w$ i $v$po podstawieniu staje się cyklicznie zredukowanym słowem w literach $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$a ponadto ma długość $\ge k$. Na przykład$$w^{-1} v = \alpha_3 (\alpha_2 \alpha_1)^k (\alpha_2 \alpha_3)^k \alpha_4 $$ Dlatego grupa $\langle w,v \rangle$ jest grupą wolną o randze 2 i każdy nietrywialny w niej element jest cyklicznie skracany $> k$, stąd nie jest sprzężona z żadnym elementem zbioru $A$.
Jeśli $m=3$ nie ma możliwości wyboru $w,v$w tak uproszczony sposób. Ale można wybrać$w,v$ być długimi, zredukowanymi słowami (o długości $\ge k + 4$) w literach $\alpha_1,\ldots,\alpha_3$ tak, że każda z konkatenacji $ww$, $vv$, $wv$, $wv^{-1}$, $vw$, $vw^{-1}$ tworzy słowo w $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ z krótkim odwołaniem (maks $2$listy są anulowane). Wynika z tego, że każde zredukowane słowo w symbolach$w,v$ ocenia się do słowa z liter $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ którego cykliczna redukcja ma długość $\ge k+2$, więc jest nietrywialny i nie jest sprzężony z żadnym elementem $A$.
Jak mówi Lee Mosher, nie jest to możliwe, jeśli $m \le 2$. Jeśli$m \ge 3$ możemy dyskutować nieco inaczej w następujący sposób. $G$jest rezydualnie skończony ( dowód ), więc możemy znaleźć normalną podgrupę$N$ skończonego indeksu niezawierającego żadnego skończonego zbioru elementów nieidentyfikujących, w szczególności zbioru $\{ \alpha_i \alpha_j \}$. Od$N$to normalne, że nie zawiera też koniugatów tych pierwiastków. Pozostaje to pokazać$N$ zawiera wolną nieabelową podgrupę.
Zgodnie z twierdzeniem o podgrupie Kurosha, $N$ jest darmowym produktem o skończonej liczbie kopii $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Z}/2$. Ma naturalną mapę do bezpośredniego produktu kopii$\mathbb{Z}/2$ tylko, których jądro jest normalną podgrupą $N'$skończonego indeksu, który jest wolny (wynika to z pewnych rzeczy o pokryciach grafów grup lub równoważnie z nieco bardziej precyzyjną postacią twierdzenia o podgrupach Kurosha). Od$N'$ ma skończony indeks w $G$ musi być nieabelowy (tutaj używamy hipotezy, że $m \ge 3$), np. ponieważ $G$ nie jest praktycznie abelowa, ani nie wykorzystuje faktu, że charakterystyka orbifold Eulera $\chi(G) = \frac{m}{2} - (m-1) = 1 - \frac{m}{2}$ jest negatywna.