Pokaż serię Fouriera $f(x)=|x|$ zbiega punktowo i równomiernie do $f(x)$ na $[-\pi,\pi]$.
Szereg Fouriera $f(x)=|x|$ na $[-\pi,\pi]$ można zapisać jako $$f(x)\sim \dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}.$$
Ten post Pokaż absolutną i jednolitą zbieżność szeregu Fouriera pokazał, że ten szereg Fouriera zbiega się równomiernie na$[-\pi,\pi]$. Jednak chcę pokazać, że ten szereg Fouriera zbiega się równomiernie do$f$ ogólnie rzecz biorąc $[-\pi,\pi]$.
W tym celu określam sumę częściową $$S_{N}:=\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx},$$ a następnie spróbuj oszacować $|f(x)-S_{N}(x)|$. Mam jakiś wstępny wynik, ale nie daje mi$$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}|f(x)-S_{N}(x)|\longrightarrow 0,$$ kiedy $N\rightarrow\infty$. Z pewnością mogę użyć$\epsilon-N$ definicji, ale mój wynik oszacowania nie jest dla mnie tak przyjazny dla obliczeń $N$ dla każdego $\epsilon$.
Oto moje szacunki:
Tak jak $|e^{-inx}|=1$, możemy mieć następujące oszacowanie \begin{align*} |f(x)-S_{N}(f)(x)|=\Bigg|f(x)-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg|&\leq |f(x)|+\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\Bigg|\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg|\\ &=|x|+\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\Bigg|\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg|\\ &\leq \dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}}\\ &\leq \dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{4}{\pi}\Bigg(\dfrac{\pi^{2}}{6}-\dfrac{1}{N+1}\Bigg)\\ &=\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{4}{\pi(N+1)}. \end{align*}
Potem utknąłem. Mamy dobry wynik, od którego nie zależy granica$x$, ale rozwiązuj związane $<\epsilon$wydaje się naprawdę skomplikowane. Czy jest jakiś sposób, abym to uprzyjemnił? Najlepszym przypadkiem byłoby bezpośrednie stwierdzenie, że granica idzie do$0$ kiedy $N\rightarrow\infty$.
Dziękuję Ci!
Edycja: zbieżność punktowa
Jak sugerowała odpowiedź „Mostafa Ayaz”, musimy najpierw udowodnić, że szereg Fouriera jest zbieżny do $f(x)$ punktowo w przedziale $[-\pi,\pi]$.
W rzeczywistości powodem, dla którego bezpośrednio udowodniłem zbieżność jednorodną, było to, że nie wiedziałem, jak udowodnić zbieżność punktową.
Mam na myśli to, że łatwo jest udowodnić, że szereg jest zbieżny, ale jak udowodnić, że jest zbieżny punktowo do $f(x)$ ogólnie rzecz biorąc $[-\pi,\pi]$?
Edycja 2:
W porządku. Właśnie to sobie przypomniałem$f(x)=|x|$ jest ciągła Holder, więc suma częściowa musi zbiegać się punktowo.
Odpowiedzi
Twoje podejście jest poprawne, ale użycie nierówności trójkąta na pierwszym etapie jest nieco przesadą i prowadzi do nieistotnych ograniczeń. Po prostu wykonaj następujące czynności$$ |f(x)-S_{N}(f)(x)|{=\Bigg|f(x)-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\= \Bigg|\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\= \Bigg|2\sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\\le \Bigg|2\sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg| \\\le \sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{4}{\pi n^{2}} } $$ Od teraz jest to bardzo proste.