Pokaż to dla $a_i>0$ i $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [duplikować]
Pokaż to dla $a_i>0$ i $n \ge 2$ co następuje: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$
Wiem, że prawa strona to rzeczywiście: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Które można zapisać jako:
$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Który łatwo wynika z wyniku.Można również użyć indukcji $n$: Podstawowy przypadek jest prawdziwy od $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$
Załóżmy, że ta relacja się utrzymuje $n$ i pomnóż obie strony relacji przez $(1+a_{n+1})$:
$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$
Pokazuje, że roszczenie jest ważne dla wszystkich $n \ge 2$.
Czy to, co zrobiłem, jest prawdą i czy jest lepszy sposób?
Odpowiedzi
Jeśli $a_k>0$, następnie $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ Podobnie, rób to wielokrotnie, aby uzyskać $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$