Pokaż, że sekwencja funkcji, które są zbieżne jednolicie, jest integrowalna Riemanna. A jeśli tylko zbiegają się punktowo?

Dec 10 2020

Pozwolić $f_n$ być sekwencją funkcji całkowalnych Riemanna na $[a,b]$które zbiegają się równomiernie do funkcji f. Pokaż, że f jest również całkowitą liczbą Riemanna. Co się stanie gdy$f_n$ tylko zbiega się punktowo?

Biorąc pod uwagę ten scenariusz, pokaż to

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Nie bardzo wiem, jak zacząć ten problem. Jeśli już zbiegają się w funkcję, jednolicie, ta funkcja musi być ciągła, prawda? Więc jest to trywialnie integrowalne Riemanna. Nie jestem pewien co do sensownego przypadku. A potem druga część z ograniczeniami, nie jestem pewien, jak się zabrać. Każda pomoc jest mile widziana!

Odpowiedzi

2 RRL Dec 11 2020 at 00:21

Możemy użyć kryterium Riemanna, aby udowodnić, że jednolita granica $f$ ciągu funkcji całkowitoliczbowych Riemanna $(f_n)_n$ jest również integrowalna metodą Riemanna.

Jednolita konwergencja dla wszystkich $\epsilon > 0$, tam istnieje $N \in \mathbb{N}$ takie, że dla wszystkich $n \geqslant N$ mamy

$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$

Pozwolić $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$być partycją. Od$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ wynika z tego, że w każdym podprzedziale partycji $I$,

$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$

A zatem, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $

Podsumowując wszystkie podprzedziały podziału, które otrzymujemy dla górnych i dolnych sum Darboux,

$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$

i stąd,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$

Od $f_n$ jest integrowalna Riemanna, istnieje podział $P$ takie że $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ i wynika z tego $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ udowadniając to $f$ jest integrowalna metodą Riemanna.

Teraz powinieneś być w stanie samodzielnie udowodnić, że granica ciągu całek jest całką funkcji granicy, biorąc pod uwagę, że $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ jednakowo dla wszystkich $x \in [a,b]$.

2 Bargabbiati Dec 10 2020 at 21:11

Pozwolić $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ być liczbami wymiernymi w przedziale $[0,1]$i rozważmy funkcje $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

Plik $f_n(x)$ są integrowalne Riemanna, ale zbiegają się do funkcji Dirichleta, która nie jest integrowalna Riemanna.