Pokazują, że $f’(0)$ istnieje i jest równe 1.

Question

Pozwolić $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$być ciągłym. Zakładać, że$f’(x)$ istnieje dla wszystkich $x \neq 0$ i $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Pokazują, że$f’(0)$ istnieje i $f’(0) = 1$

Moja próba: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Nie sądzę, że wymiana limitów, którą zrobiłem, jest poprawna. Czy ktoś może mi pomóc, jak to zrobić.

Answer 1

Myślę, że post z linkiem Martin R mówi coś podobnego, ale jest to standardowa aplikacja MVT: Fix $h>0$ i rozważ $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, wtedy za pomocą twierdzenia o wartości średniej można znaleźć punkt $a \in (0,h)$ takie że $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Teraz weź$h \to 0$. Co się stało$a$? Weź pod uwagę, że$a$ zależy od $h$.

Ponadto zamiana granic nie jest dobrym pomysłem, chyba że odwołujesz się do konkretnego twierdzenia / wyniku, który na to pozwala. Generalnie nawet „łatwe” limity nie mogą zostać zmienione.