Pola Diraca: Czy operatory tworzenia cząstek i antycząstek działają inaczej w próżni?

Question

Biorąc pod uwagę pole Diraca $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ z operatorami tworzenia $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ odpowiednio dla cząstek i antycząstek, jak te operatory działają na próżnię?

W szczególności, czy to prawda $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?

Answer 1

Ach, myślę, że rozumiem teraz twoje pytanie i myślę, że jest to prosta kwestia notacyjna. Stany pojedynczych cząstek dla cząstek i antycząstek powinny być oznaczane inaczej, tj. Próba zbliżenia się do notacji daje coś w rodzaju

$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$Wszystkie zwykłe relacje komutacyjne są takie same. Być może byłaby bardziej standardowa notacja$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ i $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $, ale nie jestem do końca pewien, co jest najczęściej.

Answer 2

To nie prawda, że$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. Ponadto notacja$|k\rangle $jest dwuznaczny. Jest państwo$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$zawierająca jedną cząstkę z pędem$k$ i stan spinu $s$ i stan $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$zawierająca jedną antycząstkę z pędem$k$ i stan spinu $s$. Patrz np. [1], sekcja 5.4.

[1] GBFolland, kwantowa teoria pola. Przewodnik turystyczny dla matematyków, Math.Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.

Answer 3

Operator $a$jest operatorem anihilacji cząstek , podczas gdy$b^{\dagger}$jest operatorem tworzenia antycząstek. Działając na próżnię,$a_{s}(k)|0\rangle=0$, ale $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. W rzeczywistości,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ jest jednocząsteczkowym stanem przeciwfermionowym (który nie jest tym samym, co jednocząstkowy stan fermionu).

Podobieństwo między $a$ i $b^{\dagger}$nie jest tak, że każdy z nich tworzy cząstkę. Przeciwnie, każdy z nich może zmniejszyć liczbę fermionów o$1$. (Liczba fermionów to liczba obecnych fermionów pomniejszona o liczbę antyfermionów - czyli zero w próżni). Działanie na jednocząsteczkowy stan fermionów$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$, unicestwiając fermion z rozmachem $k$ i kręć $s$. Pole koniugatu$\Psi^{\dagger}$ (lub $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) obejmuje $a^{\dagger}$, który tworzy fermion i $b$, który anihiluje antyfermion. A zatem,$\Psi^{\dagger}$ zwiększy liczbę fermionów o $1$.