Poszerzenie Grupy Ulegającej o Grupę Ulegającą podlega
Chciałbym to udowodnić, jeśli $H\subset G$ jest normalną podatną podgrupą, taką że $G/H$ jest więc podatny $G$jest podatny. Definicja podatności, której używam, jest następująca:
Grupa $G$ jest podatny, jeśli każde działanie $G$ przez homeomorfizmy zwartej przestrzeni metrycznej dopuszcza niezmienną miarę prawdopodobieństwa.
Definicję tę można znaleźć w „Grupach dyfeomorfizmów kołowych” Navasa. Próbowałem na wiele różnych sposobów, ale nie mogłem tego udowodnić, wiem, że istnieje wiele równoważnych definicji podatności, ale chciałbym (jeśli to możliwe) dowodu, który używa tylko tej definicji.
Oto, co zrobiłem do tej pory: Jeśli $G$ działa $(M,d)$ następnie $G/H$ działa $M/H$ (iloraz $M$ przez orbity $H$), problem polega na tym, że ta grupa niekoniecznie jest metryczna, gdyż można by nadać grupie ilorazowej wartość pseudometryczną $d'$ podane w wikipedii https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (topologia może być słabsza niż topologia ilorazowa), a następnie wykonaj inny iloraz $X=(M/H)/\sim$ gdzie $[x]\sim [y]$ Jeśli $d'([x],[y])=0$. Tutaj$X$ jest kompaktową przestrzenią metryczną i moglibyśmy podjąć działanie $G/H$ na $X$ podane przez ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ Jeśli $[[g(x)]]=[[y]]$, od $G/H$ jest podatny, istnieje niezmienna miara prawdopodobieństwa, a mianowicie $\nu$. Teraz zestawy$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ są zwarte i niezmienne pod działaniem $H$, więc każdy ma niezmienną miarę prawdopodobieństwa, mianowicie $\mu_{[[x]]}$ i moglibyśmy zdefiniować miarę prawdopodobieństwa na $M$ tak jak $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Nie wiem, czy to ogólnie działa, nie mogłem tego udowodnić ani obalić, przypuszczam, że to nie działa, ponieważ może nastąpić wewnętrzne przesunięcie orbit $H$ w zestawach $A_{[[x]]}$, ale mam nadzieję, że to daje wgląd w to, czego do tej pory próbuję.
Mam nadzieję, że było jasne, z góry wielkie dzięki.
Coś, co może pomóc: Przestrzeń miar prawdopodobieństwa w przestrzeni metrycznej jest zwarta, więc można użyć zbieżności miar prawdopodobieństwa.
Odpowiedzi
Napraw kompaktową przestrzeń metryczną $M.$ Pozwolić $W(M)$ oznaczają przestrzeń Wassersteina dla $M$: przestrzeń miar prawdopodobieństwa $M,$z metryką Wassersteina. Ważną właściwością jest to, że ta metryka podaje topologię słabej zbieżności, tworząc$W(M)$ kompaktowa przestrzeń metryczna.
Pozwolić $W(M)^H$ oznaczają podprzestrzeń $H$-wariantowe środki. To jest zamknięte, więc jest to również kompaktowa przestrzeń metryczna.
Akcja $G$ na $M$ podejmuje działanie $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ na $W(M).$ Od $H$ jest normalne, $G$ przetwory $W(M)^H$: Jeśli $p$ jest $H$ wtedy niezmienny $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Ale $H$ działa trywialnie $W(M)^H,$ tak w rzeczywistości $G/H$ działa $W(M)^H.$ Od $G/H$ jest podatny, istnieje $G$miara niezmienna $\xi$ na $W(M)^H.$
Jest to miara prawdopodobieństwa na przestrzeni miar prawdopodobieństwa. Aby uzyskać miarę na oryginalnej przestrzeni$M,$potrzebujemy integracji środków. Innymi słowy, rozmnożenie monady Kantorowicza . Definiować$E\xi\in W(M)$ przez $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ dla każdego Borela $A.$ Plik $G$- niezmienność $\xi$ implikuje $G$- niezmienność $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Na koniec chciałbym wspomnieć, że ten sam argument działa, jeśli wszędzie porzucisz warunek metalizowalności. Istnienie niezmiennej miary prawdopodobieństwa dla każdego$G$- działanie na zwartej przestrzeni Hausdorffa jest jedną z niewielu definicji podatności, która uogólnia się użytecznie na nielokalnie zwarte grupy.
Myślę, że równoważność definicji Navasa i standardowego pojęcia użyteczności nazywa się twierdzeniem Bogolyubova-Deya. Możesz go znaleźć w wielu miejscach, zobacz na przykład Proposition 3.6 in
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Amenability and ergodic properties of topological groups: od Bogolyubov dalej , Ceccherini-Silberstein, Tullio (red.) i in., Groups, graphs and random walks. Wybrane referaty z warsztatów, Cortona, Włochy, 2–6 czerwca 2014 r. Z okazji 60. urodzin Wolfganga Woessa. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). London Mathematical Society Lecture Note Series 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
(Przeczytaj tutaj, aby uzyskać bezpłatną wersję.) Biorąc pod uwagę ten wynik, możesz użyć wielu dostępnych dowodów na to, że klasa grup podatnych jest zamknięta pod rozszerzeniami, np. Tutaj lub w jednej z wielu innych książek dotyczących grup podatnych.
Edytować. Z kontekstu książki jasno wynika, że Navas definiuje podatność (i na przykład właściwość T) tylko dla grup wyposażonych w dyskretną topologię. Szkoda, że nigdy nie wspomina o podatności w kontekście grup topologicznych (wyposażonych w niedyskretną topologię), używa niestandardowej definicji podatności i nie podaje (o ile wiem) odniesienia do ogólnego podręcznika traktowania grup podatnych (i tam jest ich kilka, patrz odniesienia tutaj , przynajmniej w przypadku lokalnie zwartych grup, które obejmują grupy dyskretne).