Pozwolić $\alpha$ być korzeniem $(x^2-a)$ i $\beta$ być korzeniem $(x^2-b)$. Zapewnij warunki powyżej $a$ i $b$ mieć $F=K(\alpha+\beta)$.

Question

PYTANIE: Niech$K$ być polem o charakterystyce różnej od 2. Niech $F$ być polem podziału dla $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$. Pozwolić$\alpha$ być korzeniem $(x^2-a)$ i $\beta$ być korzeniem $(x^2-b)$. Zapewnij warunki powyżej$a$ i $b$ mieć $F=K(\alpha+\beta)$.

MOJA PRÓBA:

Pozwolić $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ i $\gamma=\alpha+\beta$. Przede wszystkim mamy$F=K(\alpha, \beta)$ze względu na definicję pola podziału. Definiowanie$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$.

Pokażmy to $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:

• Od $\gamma=\alpha+\beta$ wynika z tego \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
• Teraz zamierzamy to pokazać $\sqrt{b}\in K(\gamma)$

Rzeczywiście, mnożenie obu stron $(*)$ przez $\sqrt{b}$ mamy:

$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$. Następnie$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

• Podobnie, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, to jest

$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, następnie

$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

MOJE WĄTPLIWOŚCI: Chyba nie ma końca$a$ i $b$ takie że $\alpha=\sqrt{a}$ i $\beta=\sqrt{b}$jednak nie jestem pewien. I nie wiem, jak to połączyć z hipotezą$K$ma charakterystyczne różne dwa. Czy mógłbyś mi pomóc, prosze?

Answer 1

Kiedy już to wiesz $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, z podstawą $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$możesz postępować w następujący sposób: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ Macierz ma wyznacznik $4(b-a)$ i tak jest odwracalne iff $a\ne b$ ponieważ charakterystyka $K$ nie jest $2$. W związku z tym,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ jest również podstawą, a więc generuje tę samą przestrzeń, czyli $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$.

Konkluzja: główny warunek jest taki $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$lub równoważnie $\beta \not\in K( \alpha)$.

To podejście nie działa w charakterystyce $2$ dlatego $[K(\gamma):K]\le 2$ od $\gamma^2 = a+b \in K$.

Answer 2

Zakładamy, że $x^2-a,x^2-b$ są nieredukowalne $K$ i $b\ne a$, bo inaczej problem jest trywialny.

• Jeśli $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$następnie to pokaż$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ma 4 różne koniugaty (właśnie tam używamy$char(K)\ne 2$), co implikuje $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$.

• Jeśli $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ następnie $v\ne 0$ więc $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ sugeruje $u=0$. Od$b\ne a$ następnie $v\ne \pm 1$ i stąd $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$.