Prawdopodobieństwo przypadkowego spaceru - mecz tenisa

Question

Ty i przeciwnik gracie w tenisa - pierwszy do zdobycia $2$wygrywa z rzędu wygrywa. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi$0.6$. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi$0.4$. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania gry?

Myślę, że można to modelować jako łańcuch Markowa z 5 stanami (2 przegrane, 1 przegrana, 0 netto, 1 wygrana, 2 wygrane). Dlatego myślę, że mógłbym napisać kilka równań, aby to rozwiązać. Czy ktoś może mi powiedzieć, czy to ma sens / czy jest źle?

P (wygrywasz od razu) $= (0.6)(0.6) = 0.36$

P (wygrywa prosto z nietoperza)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P (wygrywasz)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

Odpowiedź:

Przypadek 1: Wygrywasz dwie gry pod rząd$ = 0.36$

Przypadek 2: Wygrywasz grę, a przeciwnik przegrywa$ = 0.24$

Przypadek 3: Ty też grasz, a Twój przeciwnik wygrywa$ = 0.24$

Przypadek 4: Przegrałeś dwie kolejne gry, a Twój przeciwnik wygrywa $ = 0.16$

W obu przypadkach 2 i 3 grę można postrzegać jako remis i powrót do punktu wyjścia. Zatem prawdopodobieństwo, że nie jest zwycięzcą, jest sumą przypadku 2 i 3$= 0.48$

Prawdopodobieństwo, że wygrasz $= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

Prawdopodobieństwo, że twój przeciwnik wygra $=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

To jeden ze sposobów na uproszczenie gry i znalezienie rozwiązania, chyba że znasz sposób rozwiązania łańcucha Markowa.