Problem 1.2.14 (b) w symbolicznej dynamice i kodowaniu

Question

Biorąc pod uwagę alfabet $\mathcal{A}$ wielkości 3, niech $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$. Tutaj$x_i$ jest skrótem od $x(i)$. Pokazują, że$X=\emptyset$ Próbowałem użyć trójek pitagorejskich $a^2+b^2=c^2$ i podsumował to $x_{a^2}=x_{b^2}$ jeśli taki $x$istniał. Więc teraz wszystko, co muszę zrobić, to udowodnić$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ i będę miał dowód przez zaprzeczenie.

Answer 1

(W razie potrzeby uzupełnij luki. Jeśli utkniesz, napisz swój proces pracy i przemyśleń, aby zademonstrować, na jakim etapie jesteś).

Załóżmy, że taka sekwencja istnieje. Pozwolić$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$.

1. WLOG niech $ x_1 = R$.
2. Skoncentrujemy się na numerze formularza $ x_{1 + n^2}$i oznacz je $y_n$. Wyraźnie$y_n = B$ lub $G$.
3. Roszczenie: Jeśli $ a^2 + b^2 = c^2$, następnie $ y_a, y_b$ mają ten sam kolor, który różni się od $y_c$.
4. WLOG niech $ y_3 = y_4 = B$ więc $y_5 = G$.
5. Więc $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$.
6. Więc $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$.
7. Używając pitagorejskich trójek (i ich wielokrotności), dodawaj w znanych terminach, aż pojawi się sprzeczność. (Mam sprzeczność z$y_{16}$, jak to ostatecznie powinno być $B$. Oczywiście możesz dojść do kolejnej sprzeczności.)

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $