Problem z $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Jan 07 2021

Ostatecznie próbuję rozwiązać $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

używając różniczkowania pod całką. Zdaję sobie sprawę, że najłatwiej jest to zrobić przy użyciu reszt, ale zamierzam w tym zadaniu wprowadzić moich studentów z zaawansowanego rachunku 2 / równania różniczkowe do kilku interesujących technik, zanim przystąpią do prawdziwej analizy.

Różniczkowanie pod całką prowadzi do pierwszego razu

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

wykorzystując całkę Dirichleta i ponownie do

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Aby rozwiązać ten ODE drugiego rzędu, potrzebujemy dwóch warunków początkowych. Całka dla$I'(\alpha)$ prowadzi do nieprawidłowego wyniku $I'(0) = 0$ ale przepisana wersja prowadzi do prawidłowego wyniku $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Mam problem z uzasadnieniem tego.

Każda pomoc lub wskazówki są mile widziane. Zadowolę się też prostszymi argumentami, dlaczego$I'(0) \neq 0$.

Odpowiedzi

3 Chris Jan 07 2021 at 04:10

Zakładasz to $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ ale jeśli $\alpha=0$, następnie $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ A więc równość $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ jest prawdą iff $\alpha>0$.