Proste, ale trudne pytanie dwumianowe [duplikat]
Jaka jest liczba różnych terminów w ekspansji $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?
Wiem, jak rozwiązać tego rodzaju problem.
Najpierw ułożyłbym termin w wyrażenie dwumianowe. Rozszerzenie będzie miało$(n+1)$ odmienne terminy.
Ale jak mogę ułożyć to w wyrażenie dwumianowe?
Odpowiedzi
Wskazówka :
$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$
$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$
Rozważ teraz cenną radę @ lulu: „Jaki jest termin najwyższego stopnia? Jaki jest najniższy? Czy wszystkie terminy pośrednie mają niezerowe współczynniki?”
Oto jak postąpiłbym z pytaniem:
$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)
To wyrażenie ma 61 różnych uprawnień. Więc odpowiedź powinna brzmieć 61. Mam nadzieję, że to pomaga!