Przekształcenie wcześniejszego rozkładu w wnioskowaniu dla parametru dwumianu N.

Dec 14 2020

Zmagam się z pytaniem 6 w ćwiczeniach do rozdziału 3 (str. 80) analizy danych bayesowskich autorstwa Andrew Gelmana.

http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/BDA3.pdf

Mamy dane Y modelowane jako niezależne dane dwumianowe, z obydwoma $N$ i $θ$ nieznany, zgodnie z artykułem Raftery'ego z 1988 r. „Wnioskowanie o dwumianowym parametrze N: hierarchiczne podejście Bayesa”.

$Y∼Bin(N,θ)$ i

$N∼Poisson(μ)$, gdzie $λ=μθ$

(Nieinformacyjna) wcześniejsza dystrybucja $λ,θ$ jest $p(λ,θ) \propto λ^{-1}$

Pytanie 6 (a) prosi o transformację, aby określić$p(N,θ)$.

Jest podobne do następującego pytania, ale nie udało mi się go użyć, aby uzyskać odpowiedź.

Podejście Bayesa: wnioskowanie o N i $\theta$ wartości z rozkładu dwumianowego

Odpowiedzi

1 Pohoua Dec 14 2020 at 17:21

Oto, co mam (nie jestem tego pewien). Myślę, że w tym ćwiczeniu$N$ma podążać za rozkładem Poissona z losowym oczekiwaniem$\mu$. (Niewłaściwa) wspólna dystrybucja$\mu, \theta$ jest zdefiniowany na transformacji $(\lambda = \mu \theta, \theta)$ przez $$p(\mu, \lambda) \propto 1/\lambda .$$ Aby uzyskać wspólną dystrybucję $(\mu, \theta)$ musiałbyś to wykorzystać $$p(\mu, \theta) = p(\lambda, \theta) \mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid$$

Tutaj, $\mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid = \theta$ takie, że niewłaściwa dystrybucja $(\mu, \theta)$ jest $p(\mu, \theta) \propto 1 / \mu$ więc poprzedni to: $$\begin{array}{lcl} p(\mu) &\propto & 1 / \mu\\ N & \sim & \mathcal{P}(\mu) \\ \theta & \sim & \mathcal{U}([0, 1]) \end{array}$$